《第18讲概率、统计与统计案例.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第18讲概率、统计与统计案例.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第18讲 概率、统计与统计案例考点透析概率、统计与统计案例抽样方法A总体分布的估计A总体特征数的估计B变量的相关性A随机事件与概率A古典概型B几何概型A互斥事件及其发生的概率A统计案例A知识整合 1本部分概率高考主要是以实际生活中的概率问题作为背景，考查随机事件概率的求法，考查的内容主要以随机事件概率的计算、互斥事件概率的计算、对立事件、古典概型的概率计算、几何概型的概率计算。求解概率问题时应首先分清是哪类概率问题，明确事件之间的关系，如互斥、对立等，针对不同的概型灵活地选择相应的方法及公式，对于古典概型列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点，对于几何
2、概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖。2统计问题主要考查用样本估计总体的思想，用样本的频率分布估计总体分布及用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。考点自测 1.（2010湖南理11）在区间上随即取一个数，则的概率为 2.（2010北京文3）从1,2,3,4,5中随机选取一个数为，从1,2,3中随机选取一个数为，则的概率是 3.（2010山东文6）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 , 4.（20
3、10安徽文10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 学科网典型例题 高考热点一：古典概型与几何概型的区别在一次实验中可能出现的结果有种，而且所有结果出现的可能性都相等.如果事件包含的结果有种，那么.这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式.高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力.例1.（2010苏州15）已知关于的一元二次函数.（1）设集合P=1，2， 3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点
4、（，）是区域内的随机点，求上是增函数的概率.【分析】本题是求古典概型与几何概型问题的基本题型，需了解各小题的基本事件是什么？解：（1）函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当0且 若=1则=1， 若=2则=1，1； 若=3则=1，1； 事件包含基本事件的个数是1+2+2=5所求事件的概率为. （2）由（）知当且仅当且0时，函数 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分. 由 所求事件的概率为.点评：本题考查了古典概型与几何概型的基本概念，在几何概型问题中，注意数形结合思想的应用.高考热点二：对立事件与互斥事件的概率一个发生的两个互斥事件A、B叫
5、做互为对立事件.即或.用概率的减法公式计算其概率.不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算.例2.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率；（4）3只颜色全不相同的概率【分析】注意对立事件与互斥事件的区别。解：（1）记“3只全是红球”为事件，从袋中有放回地抽取3次每次取1只共会出现333=27种等可能的结果其中全是红球的结果只有一种，故事件的概率为（2）“3只颜色全相同”只能是这样三种情况：“三只全是红球”（记为事件）；“
6、三只全是黄球”（记为事件）；“三只全是白球”（记为事件）事件不可能同时发生，因此，它们为互斥事件，由于红、黄、白球个数一样, 故不难得到 （3）3只颜色不全相同的情况较多，如红、白、黄；红、红、白；考虑起来比较复杂，我们可以从它们的对立事件考虑，若把“3只颜色不全相同”记为事件则事件为“3只颜色全相同”，显然事件与为对立事件（4）要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故三次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种所以三只颜色全不相同的概率为点评：本题考查了对立事件与互斥事件的联系与区别，注意枚举法及间接法的应用.高考热点三： 概率知识的综合应用例3. （2010南通三模17）
7、田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、5u.k.sB、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率； （2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？【分析】本题第一题应该是简单题，而第二题应该注意分类讨论，把问题说清楚.【解】记A与a比赛为（A，a），其它同理5u.k.s（l）（方法1）齐王与田忌赛
8、马，有如下6种情况：（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）；（A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）. 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 故田忌获胜的概率为. （方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能：A B C5u.k.sa b ca c bb a c b c a c a bc b a 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可
9、以获胜故田忌获胜的概率为 （2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c 后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）田忌获胜的概率为. 若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）田忌获胜的概率也为 所以，田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大.答：（l）田忌获胜的概率（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使
10、获胜的概率达到最大为.点评：本题考查了分类讨论思想在概率问题中的综合应用，注意第二问中的两种情形要说清楚，并注意语言描述要到位.高考热点四：总体分布的估计样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确例4（2010宿迁17）0.030.0250.020.0150.010.00540 50 60 70 80 90 100某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信
11、息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；（3）若60分及以上为及格，估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率分析：本题考查了频率分布直方图中的概率问题，注意有关频率分布直方图的本身性质的应用.0.030.0250.020.0150.010.00540 50 60 70 80 90 100解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，直方图如右所示； （2）记 “墨点恰好落在第四组的小矩形内”为事件A，洒墨点是随机的，所以认为落入每个矩形内的
12、机会是均等的，于是事件A的概率等于第四个矩形面积与所有矩形的面积之比，即，故墨点恰好落在第四组的小矩形内的概率为0.3； （3）由图可得，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以其中及格的学生有人，而不低于80分所在的五、六组，频率和，则不低于80分的学生有人，在及格的学生中抽取一位学生是等可能的，有45种可能，记“及格的45学生中抽取一位学生分数不低于80分”为事件B，则事件B包含其中的18个基本事件，所以事件B的概率为，利用抽样学生的成绩，故可估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率为0.4 点评：本题考查了频率分布直方图与概率的关系，注意本身性质的应用
13、，属于简单题. 高考热点五：总体特征数的估计例5. 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103， 98，99；乙：110，115，90，85， 75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？（2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定.【分析】根据总体特征数的估计，关键是计算。解：（1）因为间隔时间相同，故是系统抽样.（2）茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：=（102+101+99+98+103+98+99）=100，方差：s12=（102-100）2
14、+（101-100）2+（99-100）23.428 6.乙车间：平均值：=（110+115+90+85+75+115+110）=100，方差：s22=（110-100)2+（115-100)2+（110-100)2228.571 4.=，s12s22,甲车间产品稳定.点评：一是要比较甲、乙两个车间在相等的条件下产品重量的平均值，即期望；二是要看产品重量的波动情况，即方差值的大小.误区分析 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。解析：设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是. 误区分析如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是. 随堂练习 1. （2010北京理11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 .若要从身高在
