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1、一元二次方程的解法专题三母题母题1 x为实数，且满足为实数，且满足(x23x)22(x23x)30，那么那么x23x1的值为的值为()A.2 B.0或或4 C.0 D.2【点拨】【答案】C设设yx23x，则则(x23x)22(x23x)30可可化化为为y22y30，分分解解因因式式，得得(y3)(y1)0，解解得得y13，y21.当当x23x3时时，x23x30，b24ac324330，方方程程无无实实数数根根；当当x23x1时时，x23x10，b24ac941130.x23x1，x23x10.【方法点拨】在在解解方方程程时时遇遇到到一一些些结结构构复复杂杂的的方方程程，可可以以利利用用换换元
2、元法法，把把其其中中某某些些相相同同的的部部分分看看成成一一个个整整体体，用用新新字字母母代代替替，将将原原方方程程转转化化为为一一个个简简单单的的方方程程，再再通通过过解方程求解，进而将原问题简单化解方程求解，进而将原问题简单化.【变式变式11】若若(a2b25)225，则，则a2b2()A.8或或2 B.2 C.8 D.0或或10D【变变式式12】已已知知(x2y21)(x2y23)5，则则x2y2的值为的值为()A.0 B.4 C.4或或2 D.2【点拨】【答案】B设设 x2y2z，则则原原方方程程换换元元为为(z1)(z3)5，即即z22z80，(z4)(z2)0，解得，解得z14，z
3、22，即即 x2y24或或 x2y22(舍去舍去)，x2y24.【变变式式13】已已知知实实数数x满满足足(x22x1)22(x22x1)30，那么，那么x22x1的值为的值为()A.1或或3 B.3或或1C.3 D.1【点拨】【答案】D设设x22x1a，(x22x1)22(x22x1)30，a22a30，解解得得a3或或a1.当当a3时时，x22x13，即即(x1)23，此此方方程程无无解解；当当a1时，时，x22x11，此方程有解，此方程有解，x22x11.母题母题2 教材教材P30例例2解下列一元二次方程解下列一元二次方程.(1)(x5)(3x2)10；(2)(3x4)2(4x3)2.解
4、：解：移项移项，得，得(3x4)2(4x3)20，将方程的左边分解因式将方程的左边分解因式，得得(3x4)(4x3)(3x4)(4x3)0，即即(7x7)(x1)0，则则7x70或或x10，解解得得x11，x21.【方法点拨】在在解解一一元元二二次次方方程程时时可可以以利利用用因因式式分分解解，通通过过降降次转化为两个一元一次方程次转化为两个一元一次方程.【变式变式21】方程方程(x2)22x(x2)的解是的解是()A.x12，x24 B.x12，x22C.x12，x20 D.x12，x21B【变变式式22】2023唐唐山山丰丰南南区区一一模模嘉嘉琪琪准准备备完完成成题题目目：解解一一元元二二
5、次次方方程程x26x0.若若“”表表示示一一个个常常数数，且且一一元元二二次次方方程程x26x0有有实实数数根根，则则“”的的最最大大值值为为_，此此时时方方程程的的解解为为 _.9x1x23【点拨】设设“”为为m，则，则x26xm0，由题意得，由题意得b24ac364m0，解得，解得m9，“”的最大值为的最大值为9，此时方程为此时方程为x26x90，即即(x3)20，x1x23.母题母题3 已知已知Mx2x1.(1)当当M3时，求时，求x的值的值；解：当解：当M3时时，x2x13，即，即x2x20，x12，x21.(2)若若M3x21，求，求M的值；的值；(3)求求M的最小值的最小值.【方法
6、点拨】遇遇到到求求代代数数式式的的最最大大值值或或者者最最小小值值时时，可可以以借借助助配配方方法法求求解解.将将代代数数式式配配方方成成形形如如a(xb)2 c的的形形式式，若若a0，则则代代数数式式有有最最小小值值c；若若a0得得出出结结论论，也也可可以求出方程的两个根以求出方程的两个根x1，x2，利用，利用x1x2得出结论得出结论.【变式变式41】2023北京大兴区二模北京大兴区二模已知关于已知关于x的方程的方程 x2(m4)x4m0.(1)求证：该方程总有两个实数根求证：该方程总有两个实数根；【证明】【证明】b24ac(m4)244mm28m16(m4)20，该方程总有两个实数根该方程
7、总有两个实数根.(2)若该方程有一个根小于若该方程有一个根小于1，求，求m的取值范围的取值范围.解：将方程解：将方程 x2(m4)x4m0因式分解，因式分解，可得可得(x4)(xm)0，解得，解得x14，x2m，若该方程有一个根小于若该方程有一个根小于1，则，则m1.【变式变式42】已知已知关于关于x 的一元二次方程的一元二次方程x2(k1)x 2k30.(1)求求证证：无无论论k为为何何实实数数，方方程程总总有有两两个个不不相相等等的的实数根实数根；【证明】【证明】b24ac(k1)24(2k3)k22k18k12 k26k13(k3)2 40，无论无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根
8、为何实数，方程总有两个不相等的实数根.(2)在在等等腰腰三三角角形形 ABC 中中，AB3，若若AC，BC为为方方程程x2(k1)x2k30 的两个实数根，求的两个实数根，求k的值的值.解：当解：当AB为腰时，为腰时，AC和和BC中有一条边为腰中有一条边为腰，方程方程x2(k 1)x2k30 的一个根为的一个根为 x3，93(k1)2k30，解得，解得k3.经检验，经检验，k3满足题意满足题意.当当AB 为底时，为底时，AC，BC为腰，为腰，方程方程 x2(k1)x2k3 0有两个相等的实数根，由有两个相等的实数根，由(1)得得无论无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在不存在.综上所述，综上所述，k3.
