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1、中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练培优 易错 难题篇一、一元二次方程1机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的
2、重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案试题解析：（1）根据题意可得：
3、70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是x千克，则x160%+1.6%（90x）=12，整理得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=10（舍去），60%+1.6%（90x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%考点：一元二次方程的应用2解方程： 【答案】【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得 开平方，得 ，或 解得3 y与x的函数关系式为：y=1.7x（xm）;或( xm) ； 4 1.735=59.5，1.78
4、0=136151这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.780+（80m）即m280m+1500=0解得m1=30，m2=50又四月份用水量为35吨，m1=3035，m1=30舍去m=50 【解析】5有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传
5、染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x36，解得：x5或x7（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：536180（个），答：第三轮将又有180人被传染【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6关于x的一元二次方程有两个不等实根，.（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根，满足，求k的值.【答案】(1) k;(2) k=0.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x
6、2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值【详解】解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，=（2k-1）2-41k2=-4k+10，解得：k，即实数k的取值范围是k；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，x1+x2+x1x2-1=0，1-2k+k2-1=0，k2-2k=0k=0或2，由（1）知当k=2方程没有实数根，k=2不合题意，舍去，k=0【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的
7、关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解7设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）令T=，求T的取值范围【答案】（1）m=；（2）0T4且T2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得1m1，根据根与系数的关系可得x1+x2=42m，x1x2=m23m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）22x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据1m1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为22m，结合1m1且m0即可求T得取值范围.【详解】方程由两个不相等的实数根，所以
8、=2（m2）24（m23m+3）=4m+40，所以m1，又m是不小于1的实数，1m1x1+x2=2（m2）=42m，x1x2=m23m+3；（1）x12+x22=6，（x1+x2）22x1x2=6，即（42m）22（m23m+3）=6整理，得m25m+2=0解得m=；1m1所以m=（2）T=+=22m1m1且m0所以022m4且m0即0T4且T2【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法8已知关于x的方程x22x+m20有两个不相等的实数根(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值【答案】(1)m
9、3；(2)m2【解析】【分析】（1）根据题意得出0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案【详解】（1）方程有两个不相等的实数根44(m2)0m3；（2）m3 且 m为正整数，m1或2当 m1时，原方程为 x22x10它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m2时，原方程为 x22x0x(x2)0x10，x22符合题意综上所述，m2【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键9若关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】（1）a；（2）x=1或
10、x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）关于x的一元二次方程x23x+a2=0有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得a；（2）由（1）可知a，a的最大整数值为4，此时方程为x23x+2=0，解得x=1或x=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10某公司今年1月份的生产成本是400万元
11、，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本（1下降率），即可得出结论【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5
12、%，x2=1.95（不合题意，舍去）答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361（15%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算11已知关于x的方程（a1）x2+2x+a10（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根【答案】（1）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两
13、种情况探讨：当a=1时，为一元一次方程；当a1时，利用b24ac0求出a的值，再代入解方程即可【详解】（1）将x2代入方程，得，解得：a将a代入原方程得，解得：x1，x22a，方程的另一根为；（2）当a1时，方程为2x0，解得：x0.当a1时，由b24ac0得44(a1)20，解得：a2或0当a2时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21；当a0时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21综上所述，当a1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.12我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每
14、千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折【详解】（1）设每千克茶叶应降价x元根据题意，得：（400x240）（200+40）=41600化简，得：x210x+240=0解得：
