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1、第三章 导数第2节 导数的应用题型37 利用导函数研究函数的极值与最值1（2013湖北文10）.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）. A B C D1. 分析 由已知得有两个正实数根，即的图象与轴有两 个交点，从而得的取值范围. 解析 ，依题意有两个正实数根.设，函数有两个零点，显然当时不合题意，必有；，令，得，于是在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即，所以.故选B.2 (2013福建文12）设函数的定义域为，的极大值点，以下结 论一定正确的是（ ）.A B是 的极小值点 C是 的极小值点 D是 的极小值点 2.分析 不妨取函数，则，易判断为的极大值点，但显然不是最大
2、值，故排除A.解析 因为，易知，为的极大值点，故排除B；又，易知，为的极大值点，故排除C；因为的图象与的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点.故D正确.3. (2013安徽文20）设函数，其中，区间.（1）求的长度（注：区间的长度定义为）； （2）给定常数，当时，求长度的最小值.3.解 同理科卷17题.4.（2013江西文21）设函数 为常数且.(1)当时，求； (2)若满足但，则称为的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点，；(3)对于（2）中，设，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值.4.分析 （1）根据自变量的取值求出相应的函数值；（2）根据自
3、变量的取值和二阶周期点的定义解方程求出题目中的二阶周期点；（3）根据（2）的结果用参数表示出三角形的面积，通过导数求最值的方法得出最值.解析 （1）当时，.（2）当时，由，解得2，因为，故不是的二阶周期点；当时，由解得.因为，故为的二阶周期点；当时，由解得.因为，故不是的二阶周期点；当时，由解得.因为，故为的二阶周期点.因此，函数有且仅有两个二阶周期点，.（3）由（2）得，则，因为，有，所以（或令，因为则在区间上的最小值为，故对于任意，.）则在区间上单调递增，故在区间上的最小值为，最大值为.5. （2013江苏20）设函数，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（
4、2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.5.分析（1）通过在上恒成立，在有解求得的取值范围；（2）由在上恒成立得出的取值范围，然后对进行讨论，研究的零点.解析 解：（1）令，考虑到的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数.同理，在上是单调增函数.由于在上是单调减增函数，故，从而，即.令，得.当时，；当时，.又在上有最小值.所以，即.综上可知，.（2）当时，必为单调增函数；当时，令，解得，即.因为在上是单调增函数，类似（1）有，即.结合上述两种情况，得.当时，由以及，得存在唯一的零点；当时，由于，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.另外，当时，故在上是单调增函数，所以只有
5、一个零点.当时，令，解得.当时，；当时，所以，是的最大值点，且最大值为.a.当，即时，有一个零点.b.当，即时，有两个零点.实际上，对于，由于.，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.另外，当时，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点.下面考虑在上的情况.先证.为此，我们要证明：当时，.设，则，再设，则.当时，所以在上是单调增函数.当时，从而在上是单调增函数，进而当时，即当时，.当，即时，.又，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.又当时，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点.综合可知，当或时，的零点个数为，当时，的零点个数为.6. (2013浙江文21）已知，函数.（1）若，求曲线
6、在点处的切线方程；（2）若，求在闭区间上的最小值.6.分析 （1）切点处的导数即为切线的斜率，求导后算出斜率，写出切线方程即可.（2）要确定 的最小值，因为的最值是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定的单调性，再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论.解析 （1）当时，所以.又因为，所以切线方程为，即.（2）记为 在闭区间上的最小值. .令，得.当时，单调递增极大值单调递减极小值单调递增比较和的大小可得当时，单调递减极小值单调递增得.综上所述，在闭区间上的最小值为7.（2015重庆文19（1）已知函数在处取得极值.确定的值；7. 解析 求导得，因为在处取得极值，
7、所以，即，解得经检验，是的极大值点.8.（2015安徽文21（2）已知函数.若，求在内的极值.8. 分析 由（1）可知在内的极大值为，且在内无极小值.解析 因为，由（1）可知在内的极大值为，在内无极小值.故在内极大值为，无极小值.9.（2015北京文19（1）设函数.求的单调区间和极值；9. 解析 函数的定义域为，令，得，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.当时，函数取得极小值.10.（2015湖南文21（1）函数，记为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；10. 解析 令，由，得，即， 而对于，当时，若，即，则；若，即，则.因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极
8、值，所以，此时，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列.11.（2015新课标2卷文21(2)）已知函数.当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.11. 分析 由(1)知当时，在上无最大值；当时，最大值为，因此，故.令，则在上是增函数. 当时，；当时，.因此的取值范围是.解析 由(1)知，当时，在上无最大值；当时，在处取得最大值，最大值为.因此等价于.令，则在上单调递增，又.于是，当时，；当时，.因此，的取值范围是.评注 高考中对函数与导数的考查，主要体现用导数的工具性来解决函数性质问题，函数的性质是函数的终极内容，学习导数以后用导数这一工具可使求解更直接简单，特别要注意函数的定义
9、域和对参数进行讨论.12.（2015山东文20 (3)）设函数，. 已知曲线在点处的切线与直线平行.设函数（表示中的较小值），求的最大值.12.解析 由（2）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，所以.当时，若，；若，由，可知.故.当时，由，可得时，单调递增；时，单调递减；故.又，所以函数的最大值为.13.已知是函数的极小值点，则（ ）.A. B. C. D.13.D 解析 令得，或易知在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得.故选D14.（2016山东文20）设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.14. 解析 （1）由，可得，则，当时，时，函数单调递
10、增；当时，时，函数单调递增；时，函数单调递减.综上所述，当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，.当时， 单调递增.所以当时，单调递减.当时，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.当时，由（1）知在内单调递增，可得当时，时，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.当时，即时，在内单调递增，在 内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.当时，即 ，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数的取值范围为.15.（2016天津文20）设函数，其中.（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中
11、，求证：；（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.15.解析 （1）由，可得，下面分两种情况讨论：当时，有恒成立，所以在上单调递增.当时，令，解得或.当变化时，的变化情况如表所示.0极大值极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.由题意得，即，所以.又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：当时，由知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以 当时，由（1）和（2） 知，所以在区间上的取值范围为，所以. 当时，由（1）和（2）知，所以在
12、区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.16.（2017北京文20）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.16.解析 .（1），则曲线在点处的切线方程为.（2）.因为，恒成立，所以在上单调递减，且，所以，所以在上单调递减，所以，.17.（2017山东文20）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解析 （1）由题意，.（1）当时，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以.令，则 ，所以在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.当时，当时，单调递增；当
13、时，单调递减；当时，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是.当时，.当时，单调递增.所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.当时，.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是.综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.18.（2017浙江20） 已知函数.（1）求的导函数；（2）求在区间上的取值范围.18.解析 （1）因为 ，所以.（2）由，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示.1000又，所以在区间上的取值范围是.19.（2017江苏20）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围19.解析 （1）由，得，当时，有极小值为因为的极值点是的零点，所以，又，故当时，恒成立，即单调递增，所以此时不存在极值，不合题意
