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1、湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024年高一下数学期末联考试题注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1已知一直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ）A-6B
2、-4C2D62产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较据上述信息，下列结论中正确的是（ ）A2015年第三季度环比有所提高B2016年第一季度同比有所提高C2017年第三季度同比有所提高D2018年第一季度环比有所提高3向量，若，则（ ）A5BC
3、D4已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ABCD5点到直线的距离是（ ）ABC3D6已知数列的前项和，则的值为（）A-199B199C-101D1017若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）ABCD8将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）ABCD9已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD10某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级
4、共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A588B480C450D120二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知向量、满足|2，且与的夹角等于，则|的最大值为_12已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为_.13如果事件A与事件B互斥，且，则 14设,则的值是_.15函数的定义域为_16已知：，则的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在数列中，.（1）分别计算，的值；（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18在中，内角、的对边分
5、别为、，且（1）求角的大小；（2）若，求的最大值及相应的角的余弦值.19已知的三个内角、的对边分别是、，的面积，（）求角；（）若中，边上的高，求的值.20已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形, ,点为棱的中点,点在棱上运动.（1）求证；（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.21如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.参考答案一、
6、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据倾斜角为得到斜率，再根据两点斜率公式计算得到答案.【详解】一直线经过两点，则直线的斜率为直线的倾斜角为，即故答案选C【点睛】本题考查了直线的斜率，意在考查学生的计算能力.2、C【解析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季
7、度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误故选C【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题3、A【解析】由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模【详解】由得，解得，故选：A【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算掌握数量积和模的坐标表示是解题基础4、B【解析】根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.【详解】因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.【点睛】本题
8、主要考查向量的数量积运算，难度较小.5、D【解析】根据点到直线的距离求解即可.【详解】点到直线的距离是.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.6、D【解析】由特点可采用并项求和的方式求得.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查并项求和法求解数列的前项和，属于基础题.7、A【解析】函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.【详解】解：因为，由函数（）有两个不同的零点，则函数在均有一个解，则，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.8、A【解析】根据三角函数的图象的平移变换得到所求【详解】由已知将函数
9、ycos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为ycos2（x）cos（2x）；故选：A【点睛】本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键9、C【解析】 当时，有，所以，所以函数在上是周期为的函数，从而当时，有，又，即，有易知为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象与直线有个不同的交点，所以，解得，故选C. 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，函数与方程等知识的综合应用，着重考查了数形结合思想研究直线与函数图象的交点问题，解答时现讨论得到分段函数的解析式，然后做出函数的图象，将方程恰有5个不同的实数解转化为直线与函数的图象由5个不同的交点，由数形结合法列出不等式组是解
10、答的关键.10、B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）10=0.8，对应的学生人数是6000.8=480考点：频率分布直方图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】在中，令，可得，可得点在半径为的圆上，可得，进而可得的最大值【详解】向量、满足|1，且与的夹角等于，如图在中，令，可得可得点B在半径为R的圆上，1R4，R1则|的最大值为1R4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题12、【解析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，
11、侧棱长都等于 为中点，为外心，连接， 平面球心在上设半径为 故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.13、0.5【解析】表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比所以根据互斥事件概率公式求解【详解】【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目14、【解析】根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解【详解】解：由题意知：故，即故答案为.【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题15、【解析】函数的定义域为故答案为16、【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值
12、域求解.【详解】由已知得，所以，又因为 ，所以，解得，所以，故填 .【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) ,；(2) ,证明见解析【解析】(1)分别令即可运算得出，的值；(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时, 成立,再利用推导出即可.【详解】(1)令有；令有；令有所以，(2)由(1)可得,故可猜想.证明：当时, 成立；假设当时, 成立,且即当时, ,即,化简得,即也满足,当时成立,故对于任意的,有,证毕.所以.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：(1)证明当取第一个值时
13、命题成立.对于一般数列取值为0或1；(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.18、（1）（2）的最大值为，此时【解析】（1）由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；（2）由正弦定理得出，然后利用三角恒等变换思想将转化为关于角的三角函数，可得出的值，并求出的值.【详解】（1）由正弦定理得，即，从而有，即，由得，因为，所以；（2）由正弦定理可知，则有，其中，因为，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以，的最大值为，此时【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查内角和定理、诱导公式
14、，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查运算求解能力，属于中等题.19、（）（）【解析】（）由面积公式推出，代入所给等式可得，求出角C的余弦值从而求得角C；（）首先由求出边c，再由面积公式代入相应值求出边b，利用余弦定理即可求出边a.【详解】（）由得 于是，即又，所以（），由得，将代入中得，解得.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题.20、（1）见解析；（2）；（3）存在，为中点.【解析】（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C
