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1、平面向量知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行单位向量:模为1个单位长度的向量平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 相等向量:长度相等且方向相同的向量 2、向量加法:设,则+=(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;,但这时必须“首尾相连”3、向量的减法: 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)4、实数与向量的积:实数与向量的积
2、是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:(); ()当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,方向是任意的5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算:(1) 若,则(2) 若,则(3) 若=(x,y),则=(x, y)(4) 若,则(5) 若,则 若,则三平面向量的数量积1两个向量的数量积
3、:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=cos叫做与的数量积(或内积) 规定2向量的投影:cos=R,称为向量在方向上的投影3数量积的几何意义: 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:5乘法公式成立: 特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=; 6平面向量数量积的运算律:交换律成立:对实数的结合律成立:分配律成立:7两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量,则=8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则AOB= ()叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方向时=1800,9垂直:如果与的夹角
4、为900则称与垂直,记作10两个非零向量垂直的充要条件:O平面向量数量积的性质例1 给出下列命题: 若|,则=; 若/,/,则/, 若=,=,则=,=的充要条件是|=|且/;若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简: , 例3 已知向量,且,求实数的值例4已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角例5已知,且与夹角为120求 ; ; 与的夹角。例6已知向量=,= 。 求与; 当为何值时,向量与垂直? 当为何值时,向量与平行?并确定此时它们是同向还是反向?平面向量高考精选1.设 ,向量且 ,
5、则(A) (B) (C) (D)2.设a,b是两个非零向量。下列选项正确的是( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则ab B.若ab,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=a D.若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a|-|b|3.设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( ) A、且 B、 C、 D、4.设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 ( ) A B C .0 D.-15.已知向量a = (1,1),b = (2,x).若a b = 1,则x =( )(A) 1 (B) (C) (D)16.若向量,则( )A. B. C. D. 7.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则ab的充要条件是A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0二、填空题1.已知向量夹角为 ,且;则2.设向量,若,则_.3设单位向量m=(x,y),b=(2,-1)。若,则=_4.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则 ()与2a+b同向的单位向量的坐标表示为_;()向量b-3a与向量a夹角的余弦值为_。5.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_,的最大值为_。