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1、专题1：有理数中的“三大家族”一、知识疑难解读有理数中的“三大家族”：在有理数的“王国”里，有三个相互依赖、相互联系的家族“数轴”、“相反数”和“绝对值”。它们号称有理数中的“三大家族”，它们也是学好七年级数学的起点。下面把它们各自的特征一一介绍给同学们。1、一线串珠的数轴 数轴是“形”通向“数”的桥梁，是数形结合的基础。抽象的“数”与具体的“形”结合在一起，更显示出数学的神奇魅力。数轴把数与直线上的点生动、形象地联系在一起，为人们提供了一种直观的数学思想方法，它的主要内容如下： (1)数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示
2、有理数。 (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2、形影不离的相反数 只有符号不同的两个数才互为相反数，除0以外，相反数总是一正一负，成对出现的。在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等： (1)通常用与表示一对相反数； (2)若与互为相反数，则； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即； (4)若，则或 (与互为相反数)。3、永不言“负”的绝对值 由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离。因为距离总是正数或0，所以有理数的绝对值不可能是负数，即0 从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是
3、它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数。 (1)若，则0； (2)若，则0； (3) 0，绝对值的非负性； (4)互为相反数的两个数的绝对值相等； (5)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。即，则或； (6)绝对值最小的数是0。 注意：(1) 不一定表示负数。当，则的值为_3、利用绝对值的非负性例3：已知，求的值4、要有分类讨论的思想例4：求式子的值。应用数轴解题1、利用数轴化简例5：已知有理数、在数轴上的位置如图，化简2、利用数轴比较大小例6：设0，0，0，试用“0，则_；（4）若，则_0。点评：根据绝对值的代数意义可知：（1）任意有
4、理数的绝对值总大于或等于0；（2）绝对值相等的两个数相等或互为相反数；（3）正数的绝对值是它本身；（4）绝对值等于它的相反数的数是负数或0。绝对值的几何意义：一个数的绝对值，即，就是数轴上表示数的对应点到原点的距离，由此可知，表示的对应点到数的对应点的距离。例10：若、在数轴上表示如图的位置，则下列结论错误的是（ ）A、 B、 C、 D、2、绝对值的多种重要特性（1）任何有理数的绝对值都是非负数，即0；（2）绝对值的最小值是0；（3）一个数的绝对值大于或等于它本身，即；（4）互为相反数的两个数绝对值相等；（5）绝对值相等的两个数，它们相等或者互为相反数；（6）若一个数的绝对值等于它本身，则这个数必是非负数。即若，则0；（7）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数必是非正数。即若，则0。例11：已知，求和的值。例12：若，则的取值范围是（ ）A、3 B、3 C、3 D、3- 4 -
