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1、第五章 常微分方程的差分方法5.3 线性多步法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多 步法。二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下： 讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、教学重点难点1教学重点：开型求解公式，闭型求解公式。2. 教学难点：收敛性与稳定性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解五、正文线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程1 引言 收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：通过某种离散化手段，将微分方程转化为 差分方程（代数方程）来求解。这种转化是否合理，
2、还要看差分问题的解 yn， 当h T 0时是否会收敛到微分方程的准确解y（X/需要注意的是，如果只考虑 h T 0，那么节点xn= X0 +nh对固定的n将趋向于X0，这时讨论收敛性是没有意 义的，因此，当h T 0时，同时n fg时才合理。定义：若一种数值方法对于任意固定的Xn=X0 +nh，当h T 0 （同时n ） 时，有yn MX/则称该方法是收敛的。设yn+1为在儿=y(X?条件下按欧拉公式计算的结果,y = y(x ) + hf(x y(x )(2)n +1nn ny(Xn+i) yn+1即为局部截断误差。T = y(x )-厂=h； y”E)n+1n +1n+12存在常数 C 使
3、 y(xn+i) - yn+i Ch23)考虑整体截断误差7+1= ( xn+1) - ynj (无叮条件)，由于|y(x ) yn+1n+1 y (x) y +n+1n+1yn+1yn+14)1) -( 2)得：y y = y(x ) y + h(f (x , y ) f (x , y(x )n+1n +1nnn nnn由常微分方程李普希兹条件得：y yJ |y(x ) y |+ hL|(y(x ) y )1 = (1 + hL)|(y(x ) y )|n+1n+1nnnnnn(5)由( 3)，( 4)，( 5)式得e J (1+ hL)e + Ch2n +1nCh e (1 + hL)ne
4、 + (1 + hL)n 1 递推得 n0 L又 1 + hL ehL，设 xn xo = nh T (T 为定数)，则(1 + hL)n enhL eTLCe 的扰动为m，如果总有1 m n 则称 该方法是稳定的。一种数值方法是否稳定，不仅与该数值方法本身有关，而且还与微分方程的 右端函数f （兀y），以及步长h有关，因此稳定性问题比较复杂。为了简化讨论 只考虑模型方程y 二九 y x 0, y（o）= y0欧拉公式稳定性：y 二（1+ hX） yn+1nyn处有扰动5 n，它的传播使节点yn+1产生扰动5 n+1，假设欧拉公式计算中不 再引入新误差，则5 n+1二（1+从）5n如果原差分方
5、程yn+1二（1+从）儿的解不增长，即有1 yn+1 U 1，就能保证欧 拉方法的稳定性。yn+1二（1+从）儿的解不增长，h需要充分小，使11 + hX V 1。故欧拉方法是条件稳定的。11 h九 yn隐式欧拉公式稳定性：y 二 y + h 九 yn yn+1nn+1n+1由于九 0 ,恒成立从而1儿+1 yn 1，隐式欧拉公式是恒稳定的。3 方程组与高阶方程（1）一阶方程组 直接推广各种算法到方程组/y二 f（绘 y，Z），y（Xo）二 yo如z二 g （x, y, z）, z（x）二 ZQ令Xn= X0 + nh，yn，Zn表示节点X上的近似解。改进的欧拉公式为：/y = y + hf
6、(X , y , z )/ n+1nn n n预报】zn+1 = zn + hg (Xn，校正y = yn+1z = zn +1nh+ - f (x , y , z ) + f (X , y , z )2 n n nn +1 n +1 n +1h+ 2【g(x ,y ,z ) + g(x ,y ,z )n+1n +1n+1四阶龙格库塔方法为：hy = y + - K + 2 K + 2 K + K n +1n 61234hz = z + - L + 2 L + 2 L + L n +1n 6 1234K广 f （x，y，z），L = g（x，y，z ）nnK = f (x, y2 n +1，2
7、K = f (x, y3 n+丄2K = f (x, y4 n +1n1+ 2 Kn n n+ 2 L )，L2 1 2=g (x , y1 n +2+2K，z + 2 L1)21+ -L ),L = g(x2 23n+12,yn+ -L )2 2+ hK , z + hL ), L = g (x , y + hK , z + hL )3 n34n +1n2）化高阶方程为一阶方程组y” 二 f (x, y, y)对ly(x)二y，y(xo) - yo，引入新变量z二y即可化为一阶方程组：y二 z, y (x )二 y 0 0z二 f (x, y, z), z(x )二 y00例 将高阶方程y -3y +2y=0,y(0)=l,y(0)=1化为一阶方程组小结本节课我们主要了解了改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性 收敛性与稳定性需要大家熟练掌握。作业：课后习题 9.
