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1、图形的相似小结复习【知识梳理】1. 两个相似三角形_的比值叫做相似比.若ABCABC,它们的相似比为k,则ABC与ABC的相似比为_.当相似比为_时,这两个三角形全等,全等三角形是_ _三角形.在用“”连接两个相似三角形时,应把_放在_的位置上.2. 识别(判断)两个三角形相似可以利用:(1)_(2)如果两个三角形中有两个_,这两个三角形相似.(3)如果两个三角形中有_且_,这两个三角形相似. (4)当两个三角形中有_,这两个三角形相似.3. 相似三角形的基本性质是_,除此之外,相似三角形的对应_,对应_,对应_,都等于相似比,对应周长的比等于_,面积的比等于_.4. 三角形的中位线平行于第三
2、边,并且等于这边的一半;梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.5. 利用相似可以把一个图形_或_,保持形状不变.如果两个图形不仅相似,而且_的连线都_,像这样的相似叫做位似.位似是由_和_所决定的.6. 两个位似图形的特点是:(1)对应边_,(2)对应顶点_,(3)两个图形是_,这三点也是识别位似的依据.7. 画位似图形的步骤:(1)确定_;(2)把位似中心与_连线(或延长);(3)根据_在所连直线上截取相应线段;(4)把所截各点用实线连接.8. 平面内一点的位置可由一对_来准确描述它的位置,但由于所确定的_不同,该点的坐标不同;选择的单位长度不同,_不同.我们还可以利用_确定点的位置
3、.利用方位角时,不能只指明方位,同时必须指出_与测量点的距离.9. 一个图形沿x轴(或平行于x轴的直线)平移m个单位,图形对应顶点_坐标不变;若向_平移,其_坐标加m.若向_平移,其_坐标减m.一个图形沿y轴(或平行于y轴的直线)平移m个单位,图形对应顶点_坐标不变.若向_平移,其_坐标减m;若向_平移,其_坐标加m.10. 关于x轴对称的两个图形对应顶点的坐标特点是_,关于y轴对称的两个图形对应顶点的坐标特点是_.如果一个图形绕原点O旋转180,得到新图形的对应顶点的横坐标与原图形对应顶点的横坐标_,纵坐标_.【典型例题】例1. 如图所示,D、E两点分别在ABC两条边上,且DE与BC不平行,
4、请填上一个你认为适合的条件_,使得ADEABC.分析:熟练掌握相似三角形的判定方法,进行尝试选择.解:结合判定方法补充条件为:1B或2C,或.例2. 如图,已知ABC中,AB8,BC7,AC6,点D、E分别在AB、AC上,如果以A、D、E为顶点的三角形和ABC相似,且相似比为,试求AD、AE的长.分析:不要忘了分类!注意本题中AD可以和AB对应,也可以和AC对应.解:(1)当ADEABC时,.AB8,AC6,AD2,AE.(2)当ADEACB时,.AB8,AC6,AD,AE2.例3. (2006年苏州)如图,梯形ABCD中,ABCD,且AB2CD,E,F分别是AB、BC的中点.EF与BD相交于
5、点M.(1)求证:EDMFBM;(2)若DB9,求BM.分析:由条件易证得四边形CBED是平行四边形,利用对应边互相平行可证得三角形相似,再根据对应边的比相等进行计算.证明:(1)E是AB的中点,AB2EB.AB2CD,CDEB.又ABCD,四边形CBED是平行四边形,CBED,EDBDBF,DEMBFM,DEMBFM.(2)DEMBFM,.F是BC的中点,DE2BF,DM2BM,BMDB93.例4. 某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花,当地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继
6、续在地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.分析:可以通过面积大小的对比计算一下,若继续在地带种同种太阳花所需资金是否超过2000元即可.解:梯形ABCD中,ADBC,AD10,BC20 ,还需要资金200102000(元),而剩余资金为200050015002000,所以资金不够用. 例5. 两个全等的含,角的三角板和三角板如图所示放置,、三点在一条直线上,连结,取的中点,连结,试判断的形状,并说明理由分析:当梯形中有腰的中点时,常常考虑再取另一腰的中点构造梯形中位线去解决问题.解:的形状是等腰直角三角形 理由:取CE的中点N,连结MN.M是BD的中点,MNDE,MN(DEBC).D
7、EA90O,MNEC,MEMC.DEAC,AEBC,MN(ACAE)EC,是直角三角形.即的形状是等腰直角三角形.例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm3.5cm,放映的荧屏的规格为2m2m,若放映机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏?解析:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的,镜头就相当于位似中心,因此本题可以转化为位似问题解答.位似图形是特殊位置上的相似图形,因此位似图形具有相似图形的所有性质.设荧屏距镜头为xcm,由题意可得,解得(cm)即(m).答:荧屏应拉在离镜头m的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏.例7. 下列说
8、法中不正确的是( )A. 位似图形一定是相似图形; B. 相似图形不一定是位似图形; C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比; D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行分析:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系,A、B、C正确,因为一对位似对应点与位似中心共线,所以D错误.例8. 在AB30m,AD20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等,如图(1),那么小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD相似吗?请说明理由.(2)如果相对着的两条小路的宽均相等,如图(2),试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形
9、ABCD和矩形ABCD相似?请说明理由.分析:因为矩形每个角都为90,所以判断矩形ABCD和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等.解:当x0时,故矩形ABCD和矩形ABCD不相似 当时,是矩形ABCD和矩形ABCD相似,所以,解得 例9. (2006年德州市)如图所示,在ABC中,ABAC1,点D、E在直线BC上运动,设BDx,CEy.(1)如果BAC30,DAE105,试确定y与x之间的函数关系式;(2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当、满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立,试说明理由.分析:确定两线段间的函数关系,可利用线段成比例、找相等关系转化为函
10、数关系.解:在ABC中,ABAC1,BAC30,ABCACB75,ABDACE105.又DAE105,DABCAE75.又DABADBABC75,CAEADB,ADBEAC,y.当,满足 90,y仍成立.此时DABCAE,DABADB,CAEADB.又ABDACE,ADBEAC,y.例10. 阅读下面的短文并回答下列问题:我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b).设S甲、S乙 分别表示这两个立方体的表面积,则,又设V甲、V乙 分别表示这两个立方体
11、的体积,则.(1)下列几何体中,一定属于相似体的是( )A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体(2)请归纳出相似体的三条主要性质:相似体的一切对应线段(或弧)长度的比等于_ ;相似体表面积的比等于_ ;相似体体积的比等于_ .(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一个人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米,体重为18千克,到了初三时,身高为1.65米.问他的体重是多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)?分析:(1)球面上任一点到球心的距离都等于半径,球的表面积与半径的平方成正比,球的体积与半径的立方成正比,且球的三视图是全等的圆,故球体一定是相似
12、体;(2)从题目的内容看,两个相似体的相似比为a:b,则表面积的比是相似比的平方,体积比是相似比的立方;(3)人体的体重与体积和密度有关,不考虑密度的情况下,体重与体积成正比,体积的比等于相似比(人体身高的比)的立方.解:(1)A.(2)相似比.相似比的平方.相似比的立方.(3)设他的体重是xkg,则根据题意得 ,得x60.75(kg).赏析:将“相似”的概念从平面扩展到空间后,情况会发生什么变化呢?实际上这也不是个很复杂的问题,因为阅读材料中明确地告诉我们:相似体的“一切对应线段之比都等于相似比”.重要的信息它就明摆在那儿,就看你能否收集到它,并加以分析处理,从而用以解决问题.【模拟试题】(
13、答题时间:30分钟)1. 如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,中位线EF交对角线AC,BD于M,N两点,若EF18cm,MN8cm,则AB的长是( ) A. 10cmB. 13cm C. 20cm D. 26cm2.如图所示,ABCD,AEFD,AE,FD分别交BC于点G,H,则图中共有相似三角形( ).A. 4对 B. 5对C. 6对D.7对3. 如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影长为CD,ABCD,AB2m,CD5m,点P到CD的距离是3m,则点P到AB的距离是( ).A.4. 如图,把PQR沿着PQ的方向平移到PQR的位置,它们重叠部分的面积是PQR面积的一半,若PQ,则此三角形移动的距离PP是( ).A. B. C. 1 D. 15. 如图,