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1、第十单元第4讲 合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明一基础知识1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的
2、原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断3直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
3、这种证明方法叫做分析法框图表示：.4间接证明一般地，由证明pq转向证明：綈qrt.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法二.题型分析题型1. 归纳推理题1. （1）已知经过计算和验证有下列正确的不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式_解析观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR，则当mn20时，有2.答案若m，nR，则当mn20时，有2（2）如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(nl，nN
4、*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则+=A B C D【答案】B【解析】由图案的点数可知，所以，所以，所以+，选B.（3）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:；若，；，则 ， 【答案】 【解析】根据定义得。，所以根据归纳推理可知。题型2. 类比推理题2. （1）在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”审题视点 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解
5、析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.答案V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.（2）已知命题：“若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn”现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案a题型3. 综合法的应用题3. 设a，b，c0，证明：abc.审题视点 用综合法证明，可考虑运用基本不等式证明a，b，c0，根据均值不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：
6、abc2(abc)当且仅当abc时取等号即abc.题型4.分析法的应用题4. 已知m0，a，bR，求证：2.审题视点 先去分母，合并同类项，化成积式证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证题型5.反证法的应用题5. 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量ab与ab不平行证明假设向量ab与ab平行，即存在实数使ab(ab)成立，则(1)a(1)b0，a，b不平行，得所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立题6. 设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中
7、实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上 第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证解答示范 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，(2分)代入k1k220，得k20.(4分)这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(6分)(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为(9分)从而2x2y22221，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上(12分)1.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都
8、相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.【答案】 【解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，所以第5行的公比为，所以。由题意知，所以第行的公比为，所以2.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为 【答案】【解析】设为平面内的任一点，由得，即3.如图1，平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比 ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD（如图2）中，平面DEC平分二面角A-CD
9、-B且与AB相交于E，则类比的结论是 【分析及解】利用类比的思想可得结论: 4. 如下图，对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”： 仿此，的“分裂”中最大的数是 ； 的“分裂”中最大的数是 ；答案：11（本空2分）；（为奇数）的“分拆”的最大数是，所以（本空3分，写成“”或“”都给3分）5. 无穷数列 的首项是，随后两项都是，接下来项都是，再接下来项都是，以此类推.记该数列为，若，则 答案：【解析】将分组成。 第组有个数，第组有个数，以此类推. 显然在第组，在第组。 易知，前20组共个数. 所以，。6. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样
10、的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【答案】本题答案应为D(试题提供的答案是B)【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为。若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于6，不适合故设直线AB的斜率为k，则直线AB为，代入抛物线y2=4x得，所以。因为A,B到直线的距离之和等于5,即，即，所以，解得，显然不成立，所以不存在这样的直线，选D.7.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列尝试解答(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首
11、项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.又因为pqr，所以rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证8.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos248（5）sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。【答案】
