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1、有限元动力学分析报告方程及解法适用标准文案动力剖析中均衡方程组的解法1 序言描绘构造动力学特色的基本力学变量和方程与静力问题近似， 但所有的变量都是时间的函数。基本变量三大类变量 ui ( , t ) 、 ij ( , t) 和ij ( ,t ) 是坐标地点( x, y, z) 和时间 t 的函数，一般将其记为 ui (t) ij (t ) ij (t ) 。基本方程(1) 均衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力均衡方程中，有ij , j (t ) bi (t) ui (t ) ui (t ) 0(1)此中为密度，为阻尼系数。(2) 几何方程ij (t)1(2)(ui , j (t
2、) u j ,i (t)2(3) 物理方程ij (t )Dijkl kl (t )(3)此中 Dijkl 为弹性系数矩阵。(4) 界限条件位移界限条件 BC (u) 为，ui (t )ui (t)在 Su 上(4)力的界限条件 BC ( p) 为，ij (t )n jpi (t )在 Sp 上(5)初始条件ui (,t0)ui0( )(6)ui (, t0)ui0( )(7) / 出色文档适用标准文案虚功原理鉴于上述基本方程，能够写出均衡方程及力界限条件下的等效积分形式，( ij , juiui b ) ui d( ij nj pi )dA 0(8)Sp对该方程右端第一项进行分部积分，并应用高
3、斯-格林公式，整理得，(Dijkl ijklui uiui ui )d( bi ui dpi ui dA) 0 (9)Sp有限元剖析列式单元的节点位移排阵为，Ue(t)u (t), v (t), w (t), u (t), v2(t ), w2(t)uk(t), vk(t), wk(t)(10)t1112单元内的插值函数为，u( ,t ) N ( )U t e (t )(11)此中 N ( ) 为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完好相同，为单元中的几何地点坐标。鉴于上边的几何方程和物理方程及 (11)式，将有关的物理量表达为节点位移的关系，有，( , t) u( , t
4、) N ( )U te (t )B( )U t e (t )(12)(, t)DDB()U t e (t)S()U t e(t )(13)u(,t)N ()U t e (t )(14)u(, t)N ()U t e (t)(15)将 (12)-(15)供稿到虚功方程 (9)中，有， M eU t e (t)C eU t e (t )K eU t e (t )Ret (t )TU t e (t )0(16)因为U t e(t) 拥有随意性，消去该项并简写有，U t eC eU t eKU t eRet(17)此中，M eN T Nd(18)eC eN T Nd(19)e出色文档适用标准文案K e
5、BT DBd(20)eM e 为单元质量矩阵，C e 为单元阻尼矩阵，K e 为单元刚度矩阵。相同，将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即，MUCUKUR(21)此中 M ，C 和 K 分别是系统的质量、 阻尼和刚度矩阵， R 是外荷载向量， U ,U和 U 分别是有限元切割体的加快度、速度和位移向量。方程 (21)是经过考虑在时辰 t 的静力均衡而推导出来的。对静力或动力剖析的选择(即在剖析中是考虑或忽视与速度及加快度有关的力 )，一般取决于工程上的判断，其目的在于减少所需要的剖析工作量。可是，应当认识到，一个静力剖析的假定，应当有原因说明它是正确的，不然，剖析的结果就是无
6、心义的。的确，在非线性剖析中，采纳忽视惯性力和阻尼力的假定，可能严重到难以求得甚至没法求得解答。在数学上，方程 (21)是一个二阶线性微分方程组，原则上可用求解常系数微分方程组的标准过程来求得方程组的解。可是，假如矩阵的阶数很高， 则采纳求解一般微分方程组的过程可能要付出很高的花费，除非特别利用系数矩阵K，C和 M 的特别性质。所以，在适用的有限元剖析中，主要对几种有效的方法感兴趣，下边将集中介绍这几种方法。 我们所考虑的基本过程， 可分为两种求解方法：直接积分法和振型叠加法。 初看起来，这两种方法仿佛完好不一样， 但事实上它们有着亲密的关系，至于选择这类或那种方法，只取决于它们的数值成效。2
7、 直接积分法在直接积分中对方程(21)是逐渐地进行数值积分的， “直接”的意思是，进行数值积分前没有进行把方程变成另一种形式的变换。本质上，直接积分是鉴于下边的两个想法，第一个想法是只在相隔t 的一些失散的时间区间上而不是试图在任一时辰 t 上知足方程 (21)即包含有惯性力和阻尼力作用的 (静力 )均衡是在求解区间上的一些失散时辰点上获取的。 所以，仿佛在静力剖析中使用过的所有求解方法，在直接积分法中也许也能有效地使用； 第二个想法是假定位移、 速度和加快度在每一时间区间 t 内变化。下边假定分别用 U 0 ,U 0 ,U 0 来表示初始时辰 ( t0 ) 的位移、速度和加快度向量为已知，要
8、求出方程 (21)从 t0 到 tT 的解。在求解时，把时间全程T 区分为几个相等的时间区间t ( 即tT / n )，所用的积分格式是在时辰0,t ，出色文档适用标准文案2 t , , t , tt , ,T 上确立方程的近似解。 因为计算下一个时辰的解的算法要考虑到前面各个时辰的解，所以假定在时辰0, t ,t 的解为已知，来推导出求时刻 tt 的解的算法。计算时辰tt 的解对于计算自此此后t 的时辰上的解是有代表意义的，这样即可成立用来计算在所有失散时间点上解的一般算法。（a） 中心差分法若把式 (21)的均衡关系看作是一个常系数常微分方程组，便能够用任一有限差分表达式经过位移来近似表示
9、加快度和速度。所以，在理论上， 很多不一样的有限差分表达式均可使用。 可是，我们要求求解格式一定是有效的，这样便只需考虑少量几种计算格式。 对某些问题求解是特别有效的一个过程是中心差分法，这个方法假定1U tt2 U t t2U tU t t(22)1U tU t tU tt2t将式 (22)代入 t 时辰的式 (21)，可得1M1C U t t Rt K2M U t1M1 C U t t (23)t 22tt 2t 22 t从式 (23)我们能够求出 U tt 。应当注意， U t t 的解是鉴于利用在时辰t 的均衡条件。所以，该积分过程称为 显式积分方法 ，且这样的积分格式在逐渐解法中不需
10、要对 (有效 )刚度矩阵进行分解。 另一方面， 此后所考虑的 Houbolt，Wilson 及 Newmark 方法，要利用在 t t 上的均衡条件，因此称为隐式积分方法。此外还应注意到， 应用中心差分法时， U tt 的计算包含有 U t 和 U tt ，所以，计算在时辰t 的解，必需用一个详细的开端过程。因为U 0 ,U 0 ,U 0 都是已知的，由关系式 (22)可求U t U 0tU 0t 2(24)U 02详细计算步骤为A 初始计算1形成刚度矩阵 K、质量矩阵 M 和阻尼矩阵 C。2计算初始值 U0 ,U0 ,U0 。出色文档适用标准文案3选用时间步长t ，要求ttcr （临界值）。
11、4计算系数 a012， a1t5计算 U tU 0tU 06形成有效质量矩阵?M7?对 M 作三角分解： M1 ， a22a0 ， a31 。2 ta2a3U 0 。a0 Ma1 C 。LDL TB 每一时间步长内的计算1计算在时辰 t 的有效荷载：?Rt K a2 M U ta0 M a1C U t t 。Rt2T?计算时辰 tU tRt 。t 的位移： LDLt3必需时，依据式（ 11. 3）计算时辰 t速度和加快度。假定所考虑的系统没有物理阻尼，即 C 是零矩阵，在这类情况下式(23)可简化为12MU t t?(25)tRt此中?RtK a2 M U t a0 M a1 C U t tRt所以，假如质量矩阵是对角形的，则解方程组（11. 1）时就不需要进行矩阵的分解，即只需进行矩阵相乘即可求得右端项的有效荷载向量? ，进而利用Rt( i )?( i )t 2(26)U t tRtm ii可得出位移向量的各个重量，此中( i )?( i )分别表示向量 U t?的第 i 个U t t和 Rtt 和 Rt重量，而 mii 是质量矩阵的第 i 个对角线元素，而且假定mii0 。假如对总刚度矩阵和质量矩阵都不需进行三角分解，也就不用形成整体的K和 M 。此时，求解式 (23)能够在单元一级来解决，而后将每个单元的结果
