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1、吉林长白山第一高级中学2024届高一数学第二学期期末质量检测试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1已知三条相交于一点的线段两两垂直且在同一平面内，在平面外、平面于，则垂足是的（ ）A内心B外心C重心D垂心2棱长为2的正方体的内切球的体积为
2、（ ）ABCD3在ABC中角ABC的对边分别为ABc，cosC，且acosB+bcosA2，则ABC面积的最大值为（）ABCD4在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：当时，若，则；当时，若，则；当时，M不可能等于3；M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（ ）A1B2C3D45已知分别是的边的中点，则；中正确等式的个数为（ ）A0B1C2D36在ABC中，若a=2bsinA,则B为ABC或D或7已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )A或B或CD8函数的图象与函数的图象的交点个数为( )A
3、3B2C1D09下列函数中同时具有性质：最小正周期是，图象关于点对称，在上为减函数的是（ ）ABCD10某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）A16B226C616D856二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11若，且，则_12秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其
4、中是的内角的对边为.若，且，则面积的最大值为_.13已知是第二象限角，且，且_.14已知，是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数的值为_.15古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为_16设等差数列，的前项和分别为，若，则_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩，分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100五组，绘制了如
5、图所示频率分布直方图.求：()图中m的值； (II)估计全年级本次考试的平均分；(III)若从样本中随机抽取分数在80，100的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.18已知三棱柱（如图所示），底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）求三棱锥的体积.19已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.20记为等差数列的前项和，已知，（）求的通项公式；（）求，并求的最小值21己知向量，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右
6、平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据题意，结合线线垂直推证线面垂直，以及根据线面垂直推证线线垂直，即可求解。【详解】连接BH，延长BH与AC相交于E，连接AH，延长AH交BC于D，作图如下：因为，故平面PBC，又平面PBC，故；因为平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE与AD交于点H，故H点为的垂心.故选：D.
7、【点睛】本题考查线线垂直与线面垂直之间的相互转化，属综合中档题.2、C【解析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.【详解】因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，所以直径，内切球的体积为，故选：C.【点睛】本题主要考查正方体的内切球的体积，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.3、D【解析】首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果【详解】ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C1，解得sinC，由于acosB+bco
8、sA1，利用余弦定理，解得c1所以c1a1+b11abcosC，整理得4，由于a1+b11ab，故，所以则，ABC面积的最大值为，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题4、B【解析】作出直线，可得，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论【详解】作出直线，可得，当时，若，当圆与直线相切，可得；当圆经过点，即，则或，故错误；当时，若，圆，当圆经过O时，交点个数为2，时，交点个数为1，则，故正确；当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，不可能等于3，故正确；的值
9、可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.5、C【解析】分别是的边的中点；故错误，正确 故正确；所以选C.6、C【解析】， ，则或，选C.7、A【解析】画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.【详解】如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，所以直线的斜率满足或.故选:A.【点睛】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思
10、想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.8、B【解析】由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2lnx图象的下方，故函数f(x)2lnx的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点9、C【解析】根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.【详解】对于A项，故A错误；对于B项， ，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；对于C项，；当时，则其图象关于点对称；当 ，函数在区间上单调递减，则函数在区间
11、单调递减，故C正确；对于D项，当时，故D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.10、B【解析】抽样间隔为，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果【详解】从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验,抽样间隔为，号学生被抽到，第四组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，被抽到,故选：B.【点睛】本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据三角函数恒等式 ，将代入得到 ，又因为，故得到 故答案
12、为。12、【解析】根据正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函数求最值的知识，即可求解.【详解】 ，又， 时，面积的最大值为.故答案为： 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.13、【解析】利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】由题意得，且，由=，解得即可.【详解】已知，是夹角为的两个单位向量，所以，得，若解得故答案为【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考
13、查了计算能力，属于基础题15、【解析】设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径 故该圆的半径为.【点睛】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.16、【解析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (I)0.
14、045; (II)75;(III)0.7【解析】()根据频率之和为1，结合题中数据，即可求出结果；(II)每组的中间值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；(III)用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求的概率.【详解】()由题意可得：()各组的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估计全年级的平均分为； ()分数落在80，90)的人数有3人，设为a，b，c，落在90，100的人数有2人，设为A、B，则从中随机抽取两名的结果有ab，(ac，a4，(aB，bc，(bA，(bB)，cA，cB)，AB共10种，其中至少有一人不低于90分的有7种，故概率为0.7.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，以及求均值的问题，同时考查古典概型的问题，
