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1、 初三数学提高班 2012、9、14 初三 班 学号 姓名 一、两个基本图形 1、如图，梯形ABCD中，AD/BC，A=90，E在AB上，DEEC. 求证：ADEBCE2、在ABC中，AB=AC，D为BC中点，将一个与B相等的角的顶点放在D处，角的两边与直线AB、AC分别相交于点E、F.求证：(1)BDEDEFCDF；(2)DE、DF分别平分BEF、CFE；(3)DE2=BEEF；DF2=CFEF二、几个例子1、如图，将矩形ABCD以AE为折痕进行折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则CE= 2、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，A=90，E在AB上，DEDC，AD=a
2、，AB=b，BC=2a.问在ADE、CDE、EBC中有无相似的三角形？若有，请证明；若无，求相似时a与b的数量关系. 3、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，A=90，E在AB上，DEEC，AD+DE=AB=a，AE=m. 那么BEC的周长是否与m有关？若有关，试用含a的代数式表示BEC的周长；若无关，请说明理由.4、如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，P是边BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAP. 问是否存在这样的点P，使ABP与APE相似. 若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 5、如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB边以3cm
3、/s的速度运动，点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度运动. 如果两点同时出发，当其中一点到达B点或D点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s). (1)当t为何值时，P、Q之间的距离为5cm；(2)联结PD，当t为何值时，DPQ=90？6、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点与点P重合，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E.(1)设PD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)是否存在这样的点P，使EAP周长等于PDC周长的2倍？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由. 7、如图，
4、在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC边上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点分别为D、E，是否存在这样的位置，使得PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由. 8、如图，ABAC，AB=AC=2，过点B作直线lAB. 点P是直线l上点B左侧的一个动点，联结PC交AB于E，过点C作CDPC交直线l于点D.(1)若PB=1，求PD的长；(2)在点P的移动过程中，BDE与ACE是否可能相似？若可能，求PB的长；若不能，请说明理由. 9、如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD，AB=4，CD=
5、2，CHAB于H，AEBC于E，F是CD上一点，FGCD交AE于G.(1)求CH的长；(2)若，求CF的长. 参考答案一、两个基本图形1、略；2、略.二、几个例子1、AF=AD=10，又AB=8，由勾股定理得BF=6，CF=4，RtABFRtCEF，得CE=3.感悟：求CE的长用相似较勾股定理方便.2、ADECDE；EBC与CDE不一定相似.下面证明ADECDE思路1、由A=B=EDC=90，想到一线三直角的基本图形. 过C作CFAD的延长线于F(如图)，由RtADERtFCD， 得，得AE=，而DC=， ，又A=EDC=90， ADECDE.思路2，由AD/BC，且AD=BC，想到三角形三角
6、形中位线定理. 延长BA、CD交于点H，由AD/BC，且AD=BC，得，知D为HC中点，又EDHC，DE是HC的垂直平分线，EH=EC，H=ECD，又H=ADE，ADE=ECD，又EAD=EDC=90，ADECDE.感悟：由AD/BC，且AD=BC，想到三角形三角形中位线定理更方便.3、BEC周长与m无关.设AD=x，由ADEEBC知，CADE=a+m，CBEC=在RtADE中，AD2+AE2=DE2，即x2+m2=(ax)2，x=，CBEC=2a.BEC周长与m无关.感悟：相似三角形的性质中，相似比等于周长比最不易想到；而相似三角形判定中，直角三角形相似的判定(即斜边、直角边分别对应成比例的
7、两个直角三角形相似)最不易想到.今后一定要熟记.4、若ABP与APE相似，由于EPA=PBA=90，所以只有EAP=APB或EAP=PAB.若EAP=APB，则AE/BC，又AD/BC，E与D重合，由一线三直角的基本图形知，即，整理，得x2bx+a2=0，当b24a20，即b2a时，x=若EAP=PAB.则AP平分EAB，此时，AEP=APB=PEC，PE平分AEC，作PFAE于E，则CP=PF=PB，P为BC中点。即CP=b综上所述，当CP长为，ABP与APE相似.想一想：最后结论中为什么只有CP长为，而没有CP=b这种情况？5、(1)作QMAB于M，在RtPQM中，有PM2+QM2=PQ2
8、，将PQ=5，QM=3，PM=74t，代入，并解得t=或t=，由题意t，t=时，PQ=5. (2)由一线三直角的基本图形可得，解得t=1或t=6、(1)审题时关键词“射线BA”要留心到.这样分成两种情况就很自然了.P在线段AD上时，由一线三直角的基本图形可得，即，y=x2+x(0x6).(2)存在. P在线段AD上时，易得，解得x=2，舍去.P在线段DA延长线上时，解得x=14. 当x=14时，存在这样的点P，使EAP周长等于PDC周长的2倍，此时PD的长为14.感悟：审清题意，一字一句读题，划出关键词很重要.否则就会漏掉一半解，扣掉一半分数.切切记住.7、显然BPDCEP，如果PDE为直角三
9、角形，由DPE=B90，故只能PDE=90或DEP=90，过A作AFBC于F，则PDEABF.如果PDE=90，则可设DP=3k，那么DE=4k，PE=5k，由BDPCEP知，而PC=4，解得BD=5=AB，舍去.所以，当BD长为时，PDE为直角三角形.感悟：5、5、6也是一个基本三角形，它是由两个全等的3、4、5的直角三角形组成的，由DPE=B90，所以如果PDE为直角三角形，那只能和3、4、5的直角三角形相似，那么夹直角的两条直角边只能是3:4，再由一线三等角基本图形知BD与PC是对应边，由此写出两种情况分别解之即可. 但由于D在AB上，BD应小于AB的长，故对解得的BD长需检验，舍去不合
10、题意的解.8、(1)过C作CFPD于F，在RtPCD中，由射影定理易求PD=.(2)如果BDEACE，由EBD=A=90，那么只能有以下两种情况：AEC=BED，AEC=PEB，PEB=BED，又EBPD，B为PD中点，即B为RtPCD斜边PD上的中点，PD=2BC=2感悟：证出B为PD中点，但想不到联结BC，B也是RtPCD斜边PD上的中点，这是第一小题仅求做出，没能认真地好好想一想.BED=ACE，ACE=EPD，EPB=BED，进而PED=90=PCD，得ED/CD，这与ED与CD相交于点D矛盾，舍去.仅当PB=2时，BDEACE.9、(1)BH=1，RtBCHRtABE，得，设CE=k，则EB=4k，k2=，CH=.(2) 延长DC、AE交于M，显然RtCEMRtFGMRtCHBRtABE.且，EM=2k，又CEMMFG，FM=2k=2=2. 又CM=k=1，CF=21=1.本题另外的解法你会吗？感悟：朱老师语录：看到面积想到：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方.2、同底同高的两个三角形等积；同底不同高的两个三角形的面积比等于高之比；同高不同底的两个三角形的面积比等于底之比.3、一个图形的面积等于各部分面积之和.4、常用的面积公式(三角形面积公式:S=ah、平行四边形面积公式:S=ah等等，需非常熟练地滚瓜烂熟、脱口而出、倒背如流地背烂).
