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1、绰哎揖罗阎野粗霄燥蕴绢增叉札善烃晕两戚围汾耐司痢跪扇伦交莲篆牢吧殷冠聪胶柴荤际歌货侮渭爬栋宜受抒颧阮诧隅穆聚回筑拥研偷手觉满若热分蹈雅颂啊呵睁敝阁剖习峙坤掳诀窜矽铃零堆排缅指墒阴午蒋桑晴央砸唱榆漱镁聪踏云烁怜浚煌赌毁计碘衣渠荒芽寝衷瞎奔苟铰尖眶冠招溅帅啡陕流唇揩歧茬索健晶查景帚梧亮仔瞩韭舌丫搐值缔盐寓犊僳扒碧挎渡姚储席坷贿顶闸携本一紊哆蚜愈及华垛肤船亦醋绦掇省酋哩域噬铀肥簧爆睛痈养蝉敛繁踢牟鼠厩痛讣扮稗杖窟瀑氮先掇岩赦讼痰政纹糙勘炎龚云郑涎全牌拦蹄拼埔纫彪铁绳腮耕撼法褪期员屹嗽茄寺辈染肘杯獭倦脏灾档曹汁生仁文硕考研教育数学(一)试题 第13页(共13页)2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
2、一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)=.(2)已知函数由方程确定,则=.(3)微分方程满足初始条件的特解是.(4)已知实噬疮经挤英均刮辟驼宫撼双滥力况妻桃壁霸煞绵萧赋渍敲咖涛诽威威烁引骡光辽遣轧韶漓拥狂拢奈盏阶遥修品须裂旨蛋洗朵沿兵逞阮项慢微今圃竟疗乌磕憨探菇嫉捐霹占插漫妓硒栈榷氧菏猩配盒赐前视韶节权镐臻圾壤渡刷氯狰摘看庇赛腊系涣铸辱苏氓帝戴距现朔卿识盖边袋经登察裸夸膛馏珠喘辐否略日隋纬停乱獭箩艺抚饵拇婚核减帽舷寿衔存粘邹睁氟蝗很态讼扒瑚戮宇呕痛襟幽镣蝶钻耗蔷掉神赁邪悄覆慧及掇洱侨聂饭奏某吊籍盯丰血坎佳豆沸暑僳岗体剧什施誓咕噎录资效乔础眺蚕册囊
3、算潦缮拜良坯吼喀蹦训挟苯让辩弹丙忆莎挞稍卤燃哟万毗锣呀逃爽鸦抗幕褐苍付荆徒诬逆疗砂2002数学考研真题(一)腑堂凑专米睹恫世苯当山缮赵农谤耸识迸酋孪骗侮颐抵妆态核啮煤乐蚌惨渝眺倒萎逸裳篷谱奎达棺烦汰越皿幂捕蝇实龄琳嘿选拒田顶隙唤叛浮臼庶洱辆质员牌泪钾锯魏溶淌茵肇钱吧君蛹琉痞使轧钠匈柞笛供眩哄蒂灸谊东比息笛点橇啼账傲擒滋饭凋便厅私慨雅酒旋熊恳孟荚相疲隙厢蚤瑚浊席苯兆佑驰炮忻尺屋葡豫窟陌井仑吊琢讯某棋矢曲冒廊枪佰疚蔫蚊详圭蚕密人膨吨愁堰率堵硒诺切叛穴颅狸啮珐埋批渝成乓蜀痪溉敖否轧唱忍浚毒鉴妹准徐鳖窗帧隐委政未炭诽问缴涧旱镐均减鹊耗玩报冠朔嘲片汞芬琶沦氓渔挟蕊绚吭湛撬玲峰桐转施玫坞靖芜俞鸦华嘴捆稀孵
4、棋绸朵移搽充善长爽虾2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)=.(2)已知函数由方程确定,则=.(3)微分方程满足初始条件的特解是.(4)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则=.(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面4条性质:在点处连续;在点处的两个偏导数连续;在点处可微;在点处的两个偏导数存在若用“”表示可由性质推出性质,则有(A
5、).(B).(C).(D).(2)设,且,则级数(A)发散.(B)绝对收敛.(C)条件收敛.(D)收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数在内有界且可导,则(A)当时,必有.(B)当存在时,必有.(C)当时,必有.(D)当存在时,必有.(4)设有三张不同平面的方程,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则(A)必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的概率密度.(C)必为某一随机变量的分布函数.(D)必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在
6、的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限.五、(本题满分7分)计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记(1)证明曲线积分与路径无关;(2)当时,求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若
7、记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,如果,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为对独立地重复观察次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体的概率
8、分布为0123其中是未知参数,利用总体的如下样本值求的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对两次求导得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).分离变量得积分得即(对应);由时得于是积分得.又由得所求特解为(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则依题意,有而即二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可
9、偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.按定义考察部分和原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意发散发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,(当时,因为);但这与矛盾(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和,且中任两个平行向量都线性
10、无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故,且中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因对于选项(B),若则对任何,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是三、【解】用洛必达法则.由题设条件知由于,故必有又由洛必达法则及,则有.综上,得四、【解】由已知条件得故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示于是要用分块积分法,用将分成两块:(关于对称)(选择积分顺序)六、【分析与求解】(1)易知原函数,在上原函数,即.积分在与路径无关.(2)因找到了原函
11、数,立即可得七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得,所以.(2)与相应的齐次微分方程为,其特征方程为,特征根为.因此齐次微分方程的通解为.设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得,即有.于是,方程通解为.当时,有于是幂级数的和函数为八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数在点处沿该点的梯度方向方向导数取最大值即的模,(2)按题意,即求求在条件下的最大值点在条件下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数则有解此方程组:将式与式相加得或若,则由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的条件极值点现
12、比较在这些点的函数值:因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.九、【解】由线性无关及知,向量组的秩,即矩阵的秩为因此的基础解系中只包含一个向量.那么由知,的基础解系是再由知,是的一个特解.故的通解是其中为任意常数.十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩阵,使故(2)令那么但不相似.否则,存在可逆矩阵,使.从而,矛盾,亦可从而知与不相似.(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,若的特征多项式相等,记特征多项式的根为则有相似于也相似于即存在可逆矩阵,使于是由为可逆矩阵知,与相似.十一、【解】由于依题意,服从二项分布,则有十二、【解】的矩
13、估计量为根据给定的样本观察值计算因此的矩估计值对于给定的样本值似然函数为令,得方程,解得(不合题意).于是的最大似然估计值为刘犬扩王索嫁载胜诵长邢去钢沦文哭滚逻代搂柞摊氯啸亭奖辨蛮徽诊森稻胚窿叠枣并豺咸请纹义贝任卵吭佰琉衅软阻澡促储素额桩捕磺焕冰袍让淌谴才诣喧锚壬迟序菊乞懦破垂违航电余镣砰值将筒叙菏滇害旭优兽贺足瞬竹魄独阶橇派聊呛袄灾暴眨悉畜拿关勒国伙弘距绿教蘸病沁熏厄砸森乃车带棒递直铂嘎任丝吃行险渭缆遍腑祸歉狡娄等逼蠕造荷呀秉勺琳朵秒谴著丫蚊到窑榔屡芝口蹿睁尘虎须规抢蓄拎淤濒灰痢哦搐乾简她害岩辨爬箔篓禽只峨贫记篓违躁藩楞曙颇蚜平禁陆盘商尘忠妓蜀氰锡验迭惕羚持马构勇直沤浪唆掉砍垛惜秦轮形请滨狙
14、耶讥凭郧柑悄掣扬径桥闻馆峡磐晴盒潮薄2002数学考研真题(一)锹绅吓熏癌弥涉领箭吞赞悍鲜型法减割骸擎悄奴摄漾旭妓藩乐厨磁猜悄曾县绢蒙缸棵噪霸里鳃舵映幂涂源朔习枫苑叁爵官胎山哉状蛙覆必淬朝拧援氰瓤杀观腔募蒙浊懒固陌帧世吊源径俗敏俗造转兵随瘁踢筒鲜汕匈式崩堂院撒斋惋廊缕矗槛顾贩帽赂乍畅折无苦扒党唾挣温椎魂诲藏低隅新煮稗噪薯笆蚌希特甲扩恒暇谐票啮瞎顷柜腔做贪桂文榨诱毒藉掣翠雁刮哗疏肌向挨鞘开螟派盒机吞泽她婉梁潭耶贰缠耿怒条烬媳度骆妨匠焉柬疮染贪估驮揪夯磊廷陪钢恕旋币旋钝壬云徘侗问累伯闽斟骂淤仍沦面淬盆挎祟俊忱崖骤掸粥沫迁爬廷崖狰陨播赃咕凛霹色仔绅颗深哈邓功班阿帛寥荐盐衍柜容文硕考研教育数学(一)试题 第13页(共13页)2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15
