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1、方程的根与函数的零点说课稿 阿城区职教中心 林占生一、 教材分析1.地位与作用本节内容为人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修1第三章函数的应用第一节函数与方程的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课。新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理是二分法的必备知识。从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点
2、的概念掌握函数零点存在性定理。二、 学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，认识不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。定理只为零点的
3、存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存在的定理的准确理解。三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标. 了解函数零点的概念:能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。. 理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用，知道定理只是函数存在零点的一个充
4、分条件，了解函数零点可以不只一个。. 能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间。2 . 过程与方程目标. 经历“尝试归纳应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，；培养归纳概括能力。. 初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题3. 情感态度和价值观目标. 体会数形结论思想。. 体验规律发现的快乐4. 过程分析. 教学结果设计创设情境，感知概念辨析讨论，深化概念实力探讨，归纳定理辨析应用，熟悉定理例题变式，深化拓展. 教学过程设计(一).创设情境，感知概念。1实例引入：解方程 2x-2x+6=0设计意图通过纯粹靠代入数运算无法解决的方程，引入学生认识冲突，激发学生兴趣
5、。2. 考察一元二次方程的根与二次方程函数图象之间的关系。填空方程 根函数图象图象与X轴的交点图象与X轴交点的横坐标归纳设计意图：一般通过回顾二次函数图象与X轴焦点及相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。问题1.一次二程的根与相应的二次函数的图象之间有什么关系学生讨论得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标3.一般函数的图象与方程根的关系问题2：其它的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例，师生互动，在学生提议的基础上，教师加以补充，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：1)y=2x - 4 2) y=ln(x-2) 3)y=(x-1)(x+1)(x-2)比较函
6、数图象与x轴交点和相交方程根的关系，从而得出一般结论：方程f(x)=0有几个根。y = f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标。设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念作好铺垫。 （二）辨析讨论：深化概念4.函数零点概念：对于数学 y=f(x)，把使f(x) = 0的实数x叫函数y=f(x)的零点。即兴练习：函数f(x)=x(x2 -16 )的零点为A.(0, 0) (4, 0) B.0, 4 C.(-4,0) (0, 0) (4, 0) D.-4, 0, 4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解说明：函数零点不是一个点，而是具体自变量的取值求函数零点就
7、是求方程f(x) = 0的根5.归纳函数的零点与方程根的关系问题3：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别联系：数值上相等：求函数零点可转化为对应方程的根存在性一致：方程f(x)=0有实数根等价于函数y=f(x)的图象与x轴有焦点等价于函数y=f(x)有零点。区别：零点对于函数而言，根对于方程而言。说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，着正是函数与方程思想的基础。即兴练习：就下列函数的零点1）-x2 +3x+5=0 2） x2 -4x=-4 设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）。（三）实例探究，归纳定理6.零
8、点存在性定理的探究：问题4:在怎样的条件下，函数y= f(x) 在区间 a ,b 上一定有零点？探究：观察二次函数f(x)= x2 -2x-3 图像在区间-2,1上有零点f(-2)= f(1)= f(-2) f(1) 0在区间2,4上有零点 f(2)= f(4)= f(2) f(4) 07、零点存在性定理如果函数f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)0 ，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b) 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。即兴联系：下列函数在相应区间内是否存在零点1、f(x)=log2x x1/2,2 2、f(
9、x)=ex-1+4x-4 x0,1设计意图：通过简单的练习适应定理的 使用。（四）辨析应用，熟悉定理8、定理辨析与灵活运用例题：判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图像举出反例。1）、已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b)0则y=f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.2)、已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b)0则y=f(x)在区间(a,b)内没有零点.3）、已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b)0则y=f(x)在区间(a,b)内存在零点.请一位同学板书反例，其他同学补充评析。归纳总结：定理不能确定零点的个数，不满足
10、定理条件时依然可能有零点；定理中的连续不断是必不可少的条件。设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，并及时加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解。（五）、例题讲解，深化拓展例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数，并确定零点所在区间n,n+1 (nZ)解法1：（借助计算工具）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图像有表和图像可知f(2)0 ,f(3)0且f(2)f(3) 0说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点。问题5：如何说明零点的唯一性？由于函数f(x)在(0,+)内单调递增，所以仅有一个零点。解法2：（估算）估计f(x)在各整数处的函数值正负，并
11、结合函数的单调性，确定在区间(2,3)内有唯一零点。解法3：（函数交点法）将方程lnx+2x-6=0化为lnx=6-2x分别画出g(x)=lnx,h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1，再比较g(2),h(2),g(3),h(3)大小。确定交点所在区间，即零点区间。设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并结合函数性质判断零点个数。即兴练习：求方程2x-2x+6=0的解得个数，并确定解所在区间n,n+1 (nZ).设计意图：与实例引入相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节课做铺垫。（六）、归纳总结，提高认识1、一个关系：函数零点与方程根的关系2、两种思想：函数方程思想，数形结合思想3、三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间（七）、布置作业，独立探究思考题：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点，如何求出这个零点？设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备板书设计方程的根与函数的零点1、 零点概念2、 方程的根与函数零点的关系3、 函数零点存在性定理的条件
