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1、平面解析几何直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率2. 掌握直线方程的几种形式
2、(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(
3、外离、外切、相交、内切、内含)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题1. 与直线xy10垂直的直线的倾斜角为_2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_3.直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m_.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_【例1】已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程【例2】如图，平面直角坐标系xOy中，AOB和COD为两等腰直角三角形，A(2,0)，C(a,0)(a0)AOB和COD的外接圆圆心分别为M，
4、N.(1) 若M与直线CD相切，求直线CD的方程；(2) 若直线AB截N所得弦长为4，求N的标准方程；(3) 是否存在这样的N，使得N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时N的标准方程；若不存在，说明理由【例3】已知圆C：x2(y3)24，一动直线l过点A(1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x3y60相交于点N.(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2) 当PQ2时，求直线l的方程；(3) 探索的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由【例4】已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的
5、交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程；(2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上1. (2011安徽)若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为_2.(2011重庆)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为_3.(2011湖北)过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_4.(2010江西)直线ykx3与圆(x2)2(y3
6、)24相交于M，N两点，若|MN|2，则实数k的取值范围是_5.(2011福建理) 已知直线l：yxm，mR.(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2) 若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x24y是否相切？说明理由6.(2011陕西)如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2) 求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度(2011南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0)、B(4,0)，
7、动点P与A、B两点连线的斜率之积为.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r. 求M的方程； 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由解：(1) 设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1、k2.(2分)由题意知，即1(x4)所以动点P的轨迹方程是1(x4)(4分)(说明：没有范围扣1分)(2) 由题意知C(0，2)，A(4,0)，所以线段AC的垂直平分线方程为y2x3.(6分)设M(a,2a3)(a0)，则M的方程为(x
8、a)2(y2a3)2r2.圆心M到y轴的距离da，由r2d22，得a.所以M的方程为2(yr3)2r2.(10分) 假设存在定直线l与动圆M均相切当定直线的斜率不存在时，不合题意当斜率存在时，设直线l：ykxb，则r对任意r0恒成立(12分)由r，得2r2(k2)(b3)r(b3)2(1k2)r2.所以解得或所以存在两条直线y3和4x3y90与动圆M均相切(16分)第12讲直线与圆的方程及应用1. 已知实数x，y满足2xy50，那么的最小值为_【答案】2. 圆x2y21与直线kxyk0(kR为常数)的位置关系是_【答案】相交3. 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_【答案】12，
9、3解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线yxb距离等于2，解得b12或12，因为是下半圆故可得b12，当直线过(0,3)时，解得b3，故12b3.4. 已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点(1) 如果|AB|，求直线MQ的方程；(2) 求动弦|AB|的最小值解： (1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，所以|MQ|，而|MA|r1，从而在RtAMQ中，|AQ|.又由题意和对称性可得，RtAMQ斜边MQ边上的高
10、为h|AB|.由等面积法得，解得q，所以Q(，0)，将M，Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2xy20.(2) 由(1)知，利用等面积法得|AB|AB|，从而当q0时，动弦|AB|取到最小值.5. (2011盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x5上圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29,0)(1) 求圆弧C2的方程；(2) 曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线C交于E、F两点，当EF33时，求坐标原
11、点O到直线l的距离解：(1) 圆弧C1所在圆的方程为x2y2169，令x5，解得M(5,12)，N(5，12)则线段AM中垂线的方程为y62(x17)，令y0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)又圆弧C2所在圆的半径为r2291415，所以圆弧C2的方程为(x14)2y2225(x5)(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得x2y22x290.由 解得x70(舍)，由解得x0(舍)，综上知，这样的点P不存在(3) 因为EFr2，EFr1，所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，所以EF15，即18，解得d2，所
12、以点O到直线l的距离为.基础训练1. 2. x2y0或xy303. 或34. (13,13)解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x5yc0的距离小于1，即1，c的取值范围是(13,13)例题选讲例1解：由题意可设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22(a1)2，解得a3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.例2点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题解： (1) 圆心M(1.1) 圆M方程为(x1)2(y1)22， 直线C
13、D方程为xya0. M与直线CD相切， 圆心M到直线CD的距离d，化简得：a2(舍去负值) 直线CD的方程为xy20.(2) 直线AB方程为：xy20，圆心N. 圆心N到直线AB距离为. 直线AB截N所得弦长为4， 22()2. a2(舍去负值) N的标准方程为(x)2(y)26.(3) 存在由(2)知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且ABCD始终成立， 当且仅当圆N半径2，即a4时，N上有且只有三个点到直线AB的距离为.此时，N的标准方程为(x2)2(y2)28.变式训练已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1) 求直线l斜率的取值范围；(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可解： (1) 直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k， |m|(m21)， |k|，当且仅当|m|1时等号成立 斜率k的取值范围是.(2) 不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心C(4，2)，半径r2.圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C
