完整word版)p163-203讲稿北师大的群论第四章 点群及其应用 §41 点群 一、几个基本概念： 点群的任一群元(正交变换），都保持系统至少有一点是不动的 点群的群元（正交变换）没有平移 点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群二、正当转动点群及其非任意性(除球之外) 群元，m度轴（对称元素)m重极点（m—1个）、极点星（)设群中共有λ组极点星，则除单位元外，群的极点数满足 即 ， 其中 有 即 得到 λ= 2 或3组 (1）λ= 2 ，即 即 得到 （注意 ) 记 ，得到两个极点星 （n,1）、（n，1) 这就是正当转动点群Cn群 （2）λ= 3 ， 即 令 ，得到 ;代入，得到 分为两种情况 、3: （2-1） ，即 记，得到三个极点星 （2，n）、（2,n)、(n，2） 这就是正当转动点群Dn群. （2-2) 代入 ，得到 这时 、4、5，对应的极点星和群：g=12： （2，6)、(3，4）、（3，4） 这就是正当转动点群T群; g=24： (2，12)、(3，8）、（4，6) 这就是正当转动点群O群； g=60： （2,30）、（3，20)、（5，12） 这就是正当转动点群P群。
正当转动点群：Cn、Dn、T、O、P 三、点群的分类： 第一类点群（正当转动点群） 第二类点群（含有非正当转动操作的点群） 晶体点群: 第一类晶体点群11个，第二类晶体点群21个，晶体点群共有32个 §42 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作:4类8种 （1）cn， （5种）(2）镜面反射(镜面反映）σ（3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映)sn（只有s4) 对称操作之间的关系： (1)同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作～转动（转角 ） （3）(镜面）（转动 )～镜面（夹角 ） （4)C2vC2u～ Cw(转角 ，转轴） （5)可对易的对称操作 作业：1 习题4 1 2. 图示上述6对可对易的对称操作 3. 习题4 3 对称元素在对称操作下,不动的点、线(转轴)、面 （1）对称元素之间的关系: 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n度转轴）→共n个镜面; 两个2度轴( )→垂直的n度轴； 2度轴+与之垂直的n度轴→共n个2度轴. （2）某些特殊的对称元素 主轴 等价轴、等价面 双向轴(定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法 极射投影图（有主轴）§4。
3 晶体点群 §4.3.1 32个晶体点群 附：可能的正多面体，只有5种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体?不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体.体心立方晶体的布里渊区，形状被称为正十二面体的有：［1］ 黄昆固体物理学.人教,1979. ［2］ 黄昆,韩汝琦固体物理学.高教，1988[3] 李冠告 晶体结构几何学基础 南开大学出版社,2000110.正确的有：[1] 方俊鑫,陆栋 固体物理学（上册）. 上海科学技术出版社,1980. 235.[2] 顾秉林,王喜坤.固体物理学.清华大学出版社,1989 62~632 32个点群的符号及所属晶系点群的符号：熊夫利符号 国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系§44 点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有16个点群是阿贝尔群Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿贝尔群：c = g，所有g个不可约表示都是1维的.每个不可约表示是一组数；这组数也就是该表示的特征标系.其中循环群有9个：Cn、C1h、S2m不仅c = g，而且群元的阶= g，Rg = E.对于循环群群元的阶= g，第个不可约表示为即 、、…、、、…、……、、…、例如：（1）C2=｛c2， E｝群：即 、、(2）C4={c4, c42， c43， E}群：、、、、、、、、、、、、满足矩阵元的正交归一、完全性关系；满足特征标的正交归一、完全性关系。
对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数,记为h，即 ，（注意)利用特征标的正交归一、完全性关系，适当地排列各群元的这些h个数.例如:C2h=｛E, c2, σh, I ｝各群元的阶都是2，特征标均为1或 —1按照特征标的正交归一、完全性关系，得到点群的特征标表1、记号说明：一维：A（主轴转动的）和B二维：E三维：T下脚标g（反演对称）和u(反演反对称）.例如:C2h2、基函数的变换性质例如:C2h、C2V3、时间反演对称性及其简并例如:C4- 12 -。