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1、一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理定理 如果 a, b 是互质的正整数，c 是整数，且方程axbyc有一组整数解x0 , y0 则此方程的一切整数解可以表示为xx0btyy0at其中 t0,1, 2, 3,证 因为 x0 , y0 是方程的整数解，当然满足ax0by0c因此a(x0 bt ) b( y0at ) ax0by0c 这表明 xx0 bt ， yy0 at 也是方程的解设 x , y 是方程的任一整数解，则有axbyc 得a( x x0 )b( yy0 )由于 (a, b)1，所以 a yy0 ，即 yy0at ，其中 t 是整数将 y y0at 代入，即得 x x
2、0bt因此 x , y 可以表示成 xx0bt ， yy0at 的形式，所以x x0 bt ，y y0 at 表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例 1 求 11x 15 y 7 的整数解解法 1 将方程变形得x715 y11因为 x 是整数，所以715y 应是 11的倍数由观察得x02, y01是这个方程的一组整数解，所以方程的解为x2 15tt为整数y111t解法 2 先考察 11x15 y1 ，通过观察易得11(4)1531，所以11(47)15(3 7) 7，可取 x028, y021，从而x2815tt为整数y2111t可见，二元
3、一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同， 同一个不定方程的解的形式可以不同， 但它们所包含的全部解是一样的 将解中的参数 t 做适当代换，就可化为同一形式例 2 求方程 6x 22 y 90 的非负整数解解 因为 (6,22)2 ，所以方程两边同除以 2得3x11y45由观察知， x1 4, y11是方程3x11y1的一组整数解，从而方程的一组整数解为x045 4180y045( 1)45由定理，可得方程的一切整数解为x 180 11t y 45 3t因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180 11t0453t0由于 t 是整数，由得15t16，所以只有
4、t15,t16 两种可能当 t15, x15, y0 ；当 t16, x4, y3 所以原方程的非负整数解是x15x4y，y30例 3 求方程 7 x 19 y213 的所有正整数解分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解 用方程7 x 19 y 213的最小系数7 除方程的各项，并移项得x213 19y302y35 y77因为 x, y 是整数，故u35y7u 3 化简得到也是整数，于是 5 y75y 7u33 2u令 v（整数），由此得52u 5v3u1u12 ，再将 y2 代入由观察知是方程的一组解
5、将v代入得 yv11x025x2519tt为整数得 x 25 于是方程有一组解，所以它的一切解为27ty02y由于要求方程的正整数解，所以2519t027t0解不等式，得t 只能取 0,1 因此得原方程的正整数解为x25x6y2，9y当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明例 4 求方程 37x107 y25 的整数解解1072373337133433841为用 37 和 107 表示 1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384374843794379(3733)9338379(107237)8379107263737( 26)1079由此可知 x126, y1
6、9是方程 37 x 107 y1的一组整数解于是x0 25 ( 26)650 ， y025 9 225是方程 37 x107 y25 的一组整数解所以原方程的一切整数解为x 650 107t t为整数 y 225 37t例 5 某国硬币有 5 分和 7 分两种，问用这两种硬币支付 142分货款，有多少种不同的方法？解 设需 x 枚 7 分， y 枚 5 分恰好支付 142分，于是7x5 y142 所以1427xx22x2x2y2828x555由于 7x142 ，所以 x20 ，并且由上式知5 2( x 1)因为 (5, 2) 1，所以 5 x1 ，从而 x1,6,11,16 ，所以的非负整数解
7、为x1x6x11x16y，y，y13，62720y所以，共有4 种不同的支付方式说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程例 6 求方程 9x24y 5z1000的整数解解 设 9x 24 y3t ，即 3x8yt ，于是 3t 5z1000 于是原方程可化为3x 8yt3t5z1000用前面的方法可以求得的解为x 3t8yt（ u 是整数）3u的解为t20005v（ v 是整数） z10003v消去 t ，得x60008u15vy20003u5v（ u, v 都是
8、整数）z10003v大约 1500 年以前，我国古代数学家丘建在他编写的丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例例 7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100 个钱买 100 只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只，由题意列方程组5x3y1 z 1003xy z100化简得 15x9 yz 300 得 14 x 8 y200即 7 x 4 y100 ，解 7 x 4 y1 得x 1 y 2于是 7x4 y100 的一个特解为x0100y0200由定理知 7x4 y100 的所有整数解为x 100 4t t为整数 y 200 7t由题意知， 0x, y, z100 ，所以01004t100t为整数02007t10025t28 4解得714 228 4t7725t28 47由于 t 是整数，故 t 只能取 26,27,28 ，而且 x, y, z 还应满足xyz100 txyz264187827811818即可能有三种情况：4只2812484公鸡， 18 只母鸡， 78只小鸡；或只公鸡，1181小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，只母鸡，只84 只小鸡
