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1、第二章2.1试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X=（XL,X2,-的联合分布密度函数是一个P维的函数，而边际分布讨论是X=（X】,X-X/,）的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于P。22设二维随机向量（X】XJ服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设（乙XJ的均值向量为m=（/协方差矩阵为5勺,则其联合分布密度函数为-1/2exp、-1(x-M)1如丿24巧丿2.3己知随机向量（X】XJ的联合密度函数为f(xx2)=2(d二c)(X_a)+(b_ci)(兀_c)_2(九二a)(兀二c)(b-a)2(d-c)2其中axkb,
2、cx2clo求（1）随机变量X】和X的边缘密度函数、均值和方差;（2）随机变量X和X,的协方差和相关系数：（3）判断X和X,是否相互独立。（1）解：随机变量X和X?的边缘密度函数、均值和方差;r2(d-c)(血一a)+(b-a)(呂一c)一2(兀一a)(兀一c)冬勺1c(b_a)(d_c)2(dc)(x1一a)x2(b-a)2(d-c)2/2(ba)(耳一c)一2(兀一a)(兀一c)石(b-a)d-c)2;方差为2(d一c)(x1一a)x2(b_a)2(d_c)22(dc)(x1一a)x2(b-af(d-c)2所以d-c2(Z?-ci)t-2(Xj-a)t出)(b-a)2(d-c)2+(b_a
3、)/_2(X_a)/_(b-a)d-c)20由于纸服从均匀分布，则均值为字，方差为气号1同理，由于/服从均匀分布0冒它S仔(712（2）解：随机变量X和X?的协方差和相关系数;cov(xpx2)=n:(a+bY(d+c)2(dc)(Xci)+(/?-ci)(x2一c)一2(呂12厶)2厶)(b-ci)2(d-c)2(c_d)(b_a)_36cov(xpx)_1p=-吓3（3）解：判断X和X?是否相互独立。乙和X,由于/（兀人）工人（兀）人（耳），所以不独立。2.4设X=（X,X_X丿服从正态分布，己知其协方差矩阵工为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。/（坷,宀）=解：因为X=（XX_X丿
4、的密度函数为E|_12exp|(x-(x-M)*1E17；丄1=巧匹（7；-1/2exp(X-小J_p1 Ui-ZA)22 b1 (兀一“3)12 I=n/=!expCorrelate-Bivariate,打开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图2.3BivariateCorrelations对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-productdelationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。蚩
5、8ivariateCorrelations：Options-StatisticsZMeansandsiancidde/iallonsP(gro&3pro:luct加泌亡“ondcscrhnccgMissirgValuesCExcludeccsc3aifwccExcludecasesId/vise图2.4Options子对话框3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表,见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵，SumofSquaresandCross-products为样本离差阵。）相却:(xJ/=/
6、=!/所以乂NfQQ）。A1II2.8方法1：=y(X,-X)(X,x)f一1気A12L一E（映荷伦尸-XX，）1H工e(x,x；)-m(戏1xL/=1=f(X：-M)(X(.-卩)-2士(Xi-M)(X-My+n(X-M)(XM-Xp)f/=!/=!=f(X,-2n(X-m)(X-町+n(X-M)(X-My1=1=s(X,-P)(X厂)-n(X-M)(X-My1=1sirn、Eg*荷哲（s）（mp）z）I_=-工E（X厂p）（X厂叮M（Xp）（X叮=EoQ故为另的无偏估计。n-2.9设X,X,X（”）是从多元正态分布X-/V/p,E）抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。证明：设（*.*.*
7、-*=（%）为一正交矩阵，即FT=Io令Z=(Zz,-zn)=(x1X,-xn)r,由于Xi(/=1,2,3,4,”)独立同正态分布，且F为正交矩阵所以Z=(乙Z2Z”)独立同正态分布。且有吩纠,护(补皿g)七Eg=Z）=1,2,3,/一1）7=1n1=吟亍nf=l畑（Z=畑（氏X;=1；=17=1所以ZZ2Z心独立同NE）分布。又因为S=（X厂X）（X（.-X）1=1H=XX；-/?XXrJ=1因为於xJS+fxj=z”z：ln/=!八y/n一厅臼+于工工(X：-人)(X：-M“)(S-1)=oL/M=-Sx/=!=/?1+n2+.+nk第三章-MJ=Xe-1(X,-M.)=0(j=1,2,Z=13. 1试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答：第一，提出待检验的假设弘和H1：第二，给出检验的统计量及其服从的分布：
