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1、第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2cos21(2)商数关系:tan_2三角函数的诱导公式1特殊角的三角函数值0sin 0101cos 1010tan 01不存在0不存在2.诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式k中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变“符号看象限”指的是在k中,将看成锐角时k所在的象限诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(
2、3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化()(4)若sin(k)(kZ),则sin .()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)对于R,sin()sin 都成立(4)当k为奇数时,sin ,当k为偶数时,sin .2sin 600的值为()A B C. D.答案B解析sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60.3已知sin,则tan ()A. B C D.答案C解析sincos ,又,则sin ,则tan ,故选C.4已知sin cos ,则sin cos 的值为()A. B C. D
3、答案B解析sin cos ,12sin cos ,sin cos .又(sin cos )212sin cos ,又,sin cos .5(必修4P22B3改编)已知tan 2,则的值为_答案3解析原式3.6(2020嘉兴期末)已知P是角的终边上一点,则cos _;角的最小正值是_答案解析P是角的终边上一点,所以cos sin ,sin cos ,所以2k(kZ),所以当k0时,角取最小正值.考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知为第二象限角,且3sin cos 0,则sin ()A. B.C D(2)已知sin cos ,且,则cos si
4、n 的值为()A B. C D.(3)若tan ,则cos22sin 2()A. B. C1 D.答案(1)A(2)B(3)A解析(1)由3sin cos ,两边平方得9sin21sin2,则sin ,又为第二角限角,所以sin 0,则sin ,故选A.(2),cos 0,sin sin ,cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12,cos sin .(3)tan ,则cos22sin 2.感悟升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化,利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin cos ,sin cos ,sin
5、 cos 这三个式子,利用(sin cos )212sin cos ,可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用:1sin2cos2,sin21cos2,cos21sin2.【训练1】 (1)已知sin cos ,(0,),则tan ()A1 B C. D1(2)若3sin cos 0,则的值为()A. B. C. D2(3)已知sin ,0,则tan _,sin cos _答案(1)A(2)A(3)解析(1)由得:2cos22cos 10,即0,cos .又(0,),tan tan 1.(2)3sin cos 0cos 0tan ,.(3)因为0,所以tan ,又0,所以sin 0,cos 0
6、,所以sin cos .考点二诱导公式的应用【例2】 (1)化简:sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050);(2)设f()(12sin 0),求f的值解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f(),f.感悟升华(1)诱导公式的两
7、个应用求值:负化正,大化小,化到锐角为终了化简:统一角,统一名,同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)已知A(kZ),则A的值构成的集合是()A1,1,2,2 B1,1C2,2 D1,1,0,2,2(2)化简:_答案(1)C(2)1解析(1)当k为偶数时,A2;k为奇数时,A2.(2)原式1.考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan,则tan_(2)已知cos,且,则cos()A. B. C D(3)若,则si
8、n cos ()A B. C或1 D.或1答案(1)(2)D(3)A解析(1),tantantan.(2)因为,所以cossinsin.因为,所以0,所以,所以sin.(3)由已知得sin cos sin cos ,12sin cos 3sin2cos2 ,(sin cos 1)(3sin cos 1)0,sin cos sin 2,sin cos .感悟升华(1)常见的互余的角:与;与;与等(2)常见的互补的角:与;与等【训练3】 (1)已知sin,则cos_.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x,当0x时,f(x)0,则f()A. B. C0 D(3)设aR,b0,2
9、若对任意实数x都有sinsin(axb),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为()A1 B2 C3 D4答案(1)(2)A(3)B解析(1),coscossin.(2)由f(x)f(x)sin x,得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x),所以fffffsin.因为当0x时,f(x)0.所以f0.(3)sinsinsin,(a,b),又sinsinsin,(a,b),注意到b0,2,只有这两组故选B.基础巩固题组一、选择题1.()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2C(sin 2cos 2) Dcos 2sin 2 答案A解析|sin 2cos 2|s
10、in 2cos 2.2cos,则sin()A. B. C D答案A解析sinsincos.3(2021湖州中学质检一)若cos(),则()Asin()BsinCcos()Dcos()答案D解析由cos()得cos ,则sin ,sin()sin ,选项A错误;sincos ,选项B错误;cos()cos ,选项C错误,选项D正确,故选D.4已知tan ,且,则sin ()A B. C. D答案A解析tan 0,且,sin 0,sin2,sin .5已知sin ,则sin4cos4的值为()A B C. D.答案B解析sin4cos4sin2cos22sin21.6向量a,b(cos ,1),且ab,则cos()A B. C D答案A解析a,b(cos ,1),且ab,1tan cos 0,sin ,cossin .7已知tan 3,则的值是()A. B2 C D2答案B解析原式2.8已知函数f(x)asin(x)bcos(x),且f(4)3,则f(2 019)的值为()A1 B1 C3 D3答案D解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3,f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin