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1、第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_2三角函数的诱导公式1特殊角的三角函数值0sin 0101cos 1010tan 01不存在0不存在2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式k中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k中，将看成锐角时k所在的象限诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(
2、3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)对于R，sin()sin 都成立(4)当k为奇数时，sin ，当k为偶数时，sin .2sin 600的值为()A B C. D.答案B解析sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60.3已知sin，则tan ()A. B C D.答案C解析sincos ，又，则sin ，则tan ，故选C.4已知sin cos ，则sin cos 的值为()A. B C. D
3、答案B解析sin cos ，12sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，又，sin cos .5(必修4P22B3改编)已知tan 2，则的值为_答案3解析原式3.6(2020嘉兴期末)已知P是角的终边上一点，则cos _；角的最小正值是_答案解析P是角的终边上一点，所以cos sin ，sin cos ，所以2k(kZ)，所以当k0时，角取最小正值.考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知为第二象限角，且3sin cos 0，则sin ()A. B.C D(2)已知sin cos ，且，则cos si
4、n 的值为()A B. C D.(3)若tan ，则cos22sin 2()A. B. C1 D.答案(1)A(2)B(3)A解析(1)由3sin cos ，两边平方得9sin21sin2，则sin ，又为第二角限角，所以sin 0，则sin ，故选A.(2)，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .(3)tan ，则cos22sin 2.感悟升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin
5、 cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练1】 (1)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1(2)若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D2(3)已知sin ，0，则tan _，sin cos _答案(1)A(2)A(3)解析(1)由得：2cos22cos 10，即0，cos .又(0，)，tan tan 1.(2)3sin cos 0cos 0tan ，.(3)因为0，所以tan ，又0，所以sin 0，cos 0
6、，所以sin cos .考点二诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)设f()(12sin 0)，求f的值解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f()，f.感悟升华(1)诱导公式的两
7、个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1，2，2 B1，1C2，2 D1，1，0，2，2(2)化简：_答案(1)C(2)1解析(1)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.(2)原式1.考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan，则tan_(2)已知cos，且，则cos()A. B. C D(3)若，则si
8、n cos ()A B. C或1 D.或1答案(1)(2)D(3)A解析(1)，tantantan.(2)因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin.(3)由已知得sin cos sin cos ，12sin cos 3sin2cos2 ，(sin cos 1)(3sin cos 1)0，sin cos sin 2，sin cos .感悟升华(1)常见的互余的角：与；与；与等(2)常见的互补的角：与；与等【训练3】 (1)已知sin，则cos_.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当0x时，f(x)0，则f()A. B. C0 D(3)设aR，b0，2
9、若对任意实数x都有sinsin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A1 B2 C3 D4答案(1)(2)A(3)B解析(1)，coscossin.(2)由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以fffffsin.因为当0x时，f(x)0.所以f0.(3)sinsinsin，(a，b)，又sinsinsin，(a，b)，注意到b0，2，只有这两组故选B.基础巩固题组一、选择题1.()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2C(sin 2cos 2) Dcos 2sin 2 答案A解析|sin 2cos 2|s
10、in 2cos 2.2cos，则sin()A. B. C D答案A解析sinsincos.3(2021湖州中学质检一)若cos()，则()Asin()BsinCcos()Dcos()答案D解析由cos()得cos ，则sin ，sin()sin ，选项A错误；sincos ，选项B错误；cos()cos ，选项C错误，选项D正确，故选D.4已知tan ，且，则sin ()A B. C. D答案A解析tan 0，且，sin 0，sin2，sin .5已知sin ，则sin4cos4的值为()A B C. D.答案B解析sin4cos4sin2cos22sin21.6向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos()A B. C D答案A解析a，b(cos ，1)，且ab，1tan cos 0，sin ，cossin .7已知tan 3，则的值是()A. B2 C D2答案B解析原式2.8已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 019)的值为()A1 B1 C3 D3答案D解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin
