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1、三角函数的图象与性质【学习目的】1、理解参数A，对函数图象变化的影响，能画出函数yAsin(x)的图象，能通过变换法研究不同函数图象间的关系2、能根据所给的三角函数的图象和性质拟定参数A，的值3、理解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决某些简朴实际问题【预习案】1.三角函数线设角的终边与单位圆交于点P，过P点作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段_、_、_分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，即sin_，cos_，tan_.2“五点法”作yAsin(x)(A0，0)的简图五点的取法是：设Xx，由X取 _来求相应的x
2、值及相应的y值，再描点作图3当函数yAsin(x)(A0，0，x(，)表达一种振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相4图象变换：函数yAsin(x)(A0，0)的图象可由函数ysinx的图象作如下变换得到：(1)相位变换：ysinxysin(x)，把ysinx图象上所有的点向_(0)或向_(0)平行移动|个单位(2)周期变换：ysin(x)ysin(x)，把ysin(x)图象上各点的横坐标_(01)或_(1)到本来的倍(纵坐标不变)(3)振幅变换：ysin(x)yAsin(x)，把ysin(x)图象上各点的纵坐标_(A1)或_(0A1)到本来的A倍(横坐标不变)5
3、三角函数的图象与性质三角函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx|xR，且xk，kZ值域和最值1,1，当x2k(kZ)时，ymin1，当x2k(kZ)时，ymax11,1，当x2k时(kZ)，ymax1，当x2k时(kZ)，ymin1值域R，无最大值和最小值周期22奇偶性奇偶奇对称性对称中心(k，0)kZ对称轴xk，kZ对称中心(k，0)，kZ对称轴xk，kZ对称中心(，0)，kZ无对称轴单调区间增区间2k，2k减区间2k，2k (kZ)减区间2k，2k增区间2k，2k(kZ)在(k，k)(kZ)上是增函数【预习自测】 1(湖北理，4)将函数ycosxsinx(xR)的图象向左平移m
4、(m0)个单位长度后，所得到的图象有关y轴对称，则m的最小值是()A BC D答案B解析ycosxsinx2cos(x)，平移后相应的解析式为y2cos(xm)，此函数为偶函数，mk，mk，kZ，m的最小正值为，故选B2(安徽师大附中二模)设0，m0，若函数f(x)msincos在区间，上单调递增，则的取值范畴是()A(0，) B(0，C，) D1，)答案B解析f(x)msincossinx，若函数在区间，上单调递增，则，即(0，故选B3(山东聊城期末)已知函数f(x)2sinx(0)在区间，上的最小值是2，则的最小值等于()A BC2 D3答案B解析0，x，x.由已知条件知，.解法探究由于f
5、(x)在区间，上能取到最小值2，周期的，不不小于，即，T，.4(四川理，5)函数f(x)2sin(x)(0，0，0，|0)个单位，所得图象相应的函数为偶函数，则n的最小值为()A BC D答案C解析由题意可知f(x)cosxsinx2cos(x)，将函数f(x)的图象向左平移n(n0)个单位后得到y2cos(xn)为偶函数，nk，kZ，nk，令k1，得n，故选C探究1. (郑州第一次质量预测)设函数f(x)sinxcosx，把f(x)的图象向右平移m(m0)个单位后的图象正好为函数yf (x)的图象，则m的最小值为()A BC D答案C解析f(x)sinxcosxsin(x)，yf (x)(c
6、osxsinx)sin(x)，将f(x)的图象向右平移m(m0)个单位后得到ysin(x)的图象，sin(xm)sin(x)，m2k，kN，m的最小值为.题型二：根据三角函数的图象求解析式例2. 已知函数f(x)Asin(x)，(A0，0,0)，其导函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)4sin(x)Bf(x)2sin(x)Cf(x)2sin(x)Df(x)4sin(x)答案A解析f (x)Acos(x)，由图象知，2()，又A2，A4，f (x)2cos(x)，由f (x)的图象过点(，0)得，cos()0，00，|)的部分图象如图所示，则f()()ABCD
7、答案B解析T，T，3.又3k(kZ)，且|0，0，|)的部分图象如图所示若函数yf(x)在区间m，n上的值域为，2，则nm的最小值是()A1 B2C3 D4答案C解析根据已知可得，f(x)2sinx，若f(x)在m，n上单调，则nm获得最小值，又当x2时，y2；当x1时，y，故(nm)min2(1)3，选C探究3. (吉林长春三调)函数f(x)sin(2x)(|)的图象向左平移个单位后有关原点对称，则函数f(x)在0，上的最小值为()A BC D答案A解析函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位得ysin2(x)sin(2x)，又其为奇函数，则k，kZ，解得k，kZ.又|，令k0，得，f
8、(x)sin(2x)又x0，sin(2x)，1，即当x0时，f(x)min，故选A题型四：三角函数的奇偶性、单调性、周期性例4 (陕西检测)已知函数f(x)sincoscos2，ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(BC)1，a，b1，求角C的大小解析(1) f(x)sincoscos2sinxsinxcosxsin(x)，又ysinx的单调递增区间为2k，2k(kZ)，令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，因此函数f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)由于f(BC)1，因此sin(BC)1，又BC(0，)，BC(，)，
9、因此BC，BC，因此A，由正弦定理得，把a，b1，sinA代入，得sinB，又ba，因此BA，因此B，因此C.探究4(福建理，16)已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1)若0，且sin，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解析解法一：(1)由于00，0，|)的部分图象，由题中条件写出该函数解析式_错解由图可知，A5，T，T3，y5sin(x)，(，0)在函数图象上，k，即k.又|，或.函数解析式为y5sin(x)或y5sin(x)正解由题图知，A5，T，T3，y5sin(x)(，0)在函数图象上，且是其五点作图中第二个零点，故函数解析式为y5sin()名师点睛一种措施讨论正弦型(余弦型)函数的图象与性质的基本措施：转化与化归为基本函数两种变换(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)和先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量不同(2)由f(x)变换为g(x)和由g(x)变换为f(x)变换环节正好相反三个注意(1)注意熟记五点法作图的五个核心点；(2)注意讨论三角函数最值时先拟定角的取值范畴；(3)
