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1、2. 预备知识在这一节，作为预备知识,我们介绍 Banach 空间，线性算子和线性算子谱等概念.2.1 Banach空间首先引进线性空间和赋范线性空间的定义定义2.1.1 设是一个集合，其中规定了两种运算（“加法”与数乘），使得(1)关于加法构成交换群：，存在，称为与之和，记为,满足， , , 存在，使得, 对于每个存在使得.记,称是的负元,(2) 数乘运算可行：,存在,称为与的积，记为,满足, , , ,则称是线性空间. 定义2.1.2设是线性空间，若映射满足(1),(2), (3), (4)时,则称是上的范数，此时记,称是线性赋范空间.我们为了引进 Banach 空间的定义，我们先引进完备
2、的赋范线性空间的定义定义2.1.3 设是赋范线性空间，是中的一个点列,若，则称是点列.定义2.1.4 若中的每个点列都是收敛的，即,使得,则称是完备的.定义2.1.5 完备的线性赋范空间称为空间.下面我们举一个 空间的例子.例 2.1.1 是空间.证明：首先，证明空间按范数=，成为一个赋范线性空间显然，对，有 且当且仅当.对(常数)，有 =；对，, 有,由赋范线性空间定义可知，按范数=，成为一个赋范线性空间其次，我们证明空间是完备的.设是中任意一个Cauchy点列,其中,，则由Cauchy点列定义,，有 ， （2.1.1）于是，对于以及，有.根据Cauchy收敛准则有 显然,.在（2.1.1）
3、式中令，则得是按范数收敛于，即是完备的因此，按范数=成为一个Banach空间2.2 线性算子在这一段，我们介绍线性算子的定义定义 2.2.1 设是两个非空集合，是一个对应规则，它使每个,对应惟一的元素，记为,则称是到的一个映射，记作或.叫做映射的定义域，记为 称为映射的定义域.定义 2.2.2 设，都是赋范线性空间，是映射，若,称是线性算子.下面我们举一个线性算子的例子例2.2.1 设.对于每个阶矩阵,定义使得 . (2.2.1)容易验证是线性算子.若用矩阵表示，式（2.2.1）即 .证明：设 ，下面验证是线性算子.因 , .故，所以是线性算子.定义 2.2.3 设，都是线性赋范空间，分别是与
4、的共轭空间，.若线性算子满足则称是的共轭算子.例2.2.2 设是有界线性算子，是的一组基.令则是闭子空间，由延拓定理，存在必要时乘上一个不为0的常数，可设，对于其余的，即满足 称是的对偶基.类似地，若是的一组基，则存在是的对偶基.现在设在基底与之下相应的矩阵，即 .若是的共轭算子，与对应的矩阵是，即 ，则根据共轭算子的定义，应有 实际计算可知 ， .所以. 这说明是的转置矩阵.换句话说，从有限维空间到有限维空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.2.3 线性算子的谱在这一段，我们介绍线性算子谱的定义.定义 2.3.1 称是正则算子，若是到上的一一的，并且是有界算子.定义 2.3.2 设是复的赋范线性空间，是线性算子， (1)若是正则算子，则称是的正则点.(2)若不是正则算子，则称是的谱点.的正则点的全体记为，称是的谱集.(3)特别地，若不是可逆的（即不是一一的），即方程有非零解，则称为的特征值，的特征值的全体记为.(4)若是可逆,但不是到上的，而值空间在中稠密，则称为的连续谱，连续谱的全体记为.(5)若是可逆，而值空间不在中稠密，则称为的剩余谱，其全体记为.定义 2.3.3 若为的特征值，则对应的特征向量张成空间的维数称为的几何重数.
