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1、人教A版必修5不等式教材分析与教学建议1课程目标不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。不等关系在现实世界和日常生活中大量存在，任何人都需要对发生在我们周围的事物作出某种判断，判断有时需借助于量与量的比较来实现，这就是不等关系在本章的地位与作用。在本章中，学生将通过具体情境感受不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。我们将重点研究一元二次不等式、二元一次不等式（组
2、）、基本不等式三种不等式模型，在了解不等式实际背景的前提下，重点研究不等式的应用。2课标内容(1) 不等关系：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中大量存在的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，了解不等式的一些基本性质。(2) 一元二次不等式：经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。(3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规
3、划问题，并能加以解决。(4)基本不等式：探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最值问题。3教学要求3.1基本要求（1）了解不等式（组）的实际背景；（2）理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；（3）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题；（4）了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；（5）理解一元二次不等式的概念；（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系；（7）理解并掌握解一元二次不等式的过程；（8）会求一元二次不等式解集；（9）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想；（10）了解从实际情境
4、中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；（11）理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；（12）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；（13）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域；（14）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；（15）掌握简单的二元线性规划问题的解法；（16）了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；（17）理解算术平均数，几何平均数的概念；（18）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；（19）通过基本不等式的实际应用，感
5、受数学的应用价值。3.2发展要求（1）理解并掌握不等式的基本性质；（2）体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用；（3）一元二次不等式解法能应用；（4）能把一些简单的实际问题转化成二元线性规划问题并加以解决。3.3说明（1）一元二次不等式的求解只要求达到基本要求即可；（2）淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用；（3）能把一些实际问题转化成二元线性规划问题并能加以解决；（4）突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形。4纲标比较4.1章节、课时比较教学大纲课程标准数学第二册（上）第六章不等式（16课时）数学5第3章不等式（16课时）6.1不等式的性质(
6、3课时)3.1 不等关系与不等式(含不等式性质)(2课时)6.2算术平均数与几何平均数(2课时)3.2 一元二次不等式及其解法(3课时)6.3不等式的证明(5课时)3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 (2课时)6.4不等式解法举例(2课时)3.3.2简单的线性规划问题(3课时)6.5含有绝对值的不等式(2课时)(阅读与思考)(阅读材料)(信息技术应用)小结与复习(2课时)3.4 基本不等式(3课时)数学第二册（上）第七章 直线和圆的方程小结与复习(3课时) 7.4简单的线性规划(3课时)(研究性课题与实习作业)4.2内容主要变化原大纲教材中，一元二次不等式安排在“集合与简易逻辑”之后，是
7、学生刚步入高一就要学习的内容，而课标教材则安排在模块5中，意图在高二（上）学习，简单的线性规划问题从解析几何直线和圆的方程中移到模块5的不等式中，与二元一次不等式组成一个单元。不等式内容进一步整编，删除一元高次、分式不等式，把不等式证明后移到选修中，基本不等式则控制难度,只用于解决求最值问题。4.3几个特点内容安排上的特点把简单的线性规划和不等式放在一起，将线性规划问题作为不等式来处理，突出了不等式的几何意义以及在解决优化问题中的作用，有利于理解不等式的本质，体现优化思想。教学要求上的特点在不等式求解方面，课标对学生的基本要求进一步弱化，在大纲教材删除了指、对数不等式和无理不等式的基础上，又删
8、除了分式不等式、一元高次不等式求解，将绝对值不等式移至选修4-5(不等式选讲)；不等式证明采取分步到位、螺旋上升的做法，由于选修4-5不作高考要求（但是为学业考试内容），其基本要求是降低的。但在选修1-2（文科必选）、选修2-2（理科必选）的推理与证明中，均提出用综合法与分析法证明不等式。在选修4-5中，介绍了不等式证明的常用方法比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，进一步介绍了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其应用，还介绍了数学归纳法与贝努利不等式。二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习要求基本不变。教学价值上变化不等式是原教材中的一个重点和难点，是培养学生思维能力和推理能力的一
9、个很好素材，所以它强调理论叙述、推理严密、变化技巧，而课标则更加关注不等式的背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述优化问题的一种数学模型，而不再把重点放在纯理论的数学探究上。5. 教学建议章头图本章的章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望。3.1不等关系与不等式这一节的要求和原教材有很大的不同，原教材作为研究不等式的理论基础，所以对它们归结为几个定理和推论，并给出了证明。而现在把所有的定理和推论整理为不等式
10、的八大性质，并作一些简要的说明，强调这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的依据。建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠，而应该在说明这些性质的合理性上举例说明，引导学生进一步挖掘一些感兴趣的和富有时代感的素材，通过分析其中的基本数量关系，以加深学生对“不等关系是客观事物的基本数量关系”的认识。也可以类比等式的基本性质，对一些不等式的推断作一些分析验证，通过类比，使学生认识不等式与等式性质之间的相同点与不同点。3.2 一元二次不等式及其解法在大纲教材的函数部分，借助于二次函数安排了二次不等式的内容。这样安排已为广大教师所接受，其好处也是多方面的。课标教材则把二次不等式的内容移至“必修
11、5”，在“必修1”的函数内容中，强调函数“是描述现实世界变量之间的依赖关系的数学模型”，把重点放在函数概念的本质的理解、函数性质讨论以及函数的实际应用上，其用意固然是为了防止教师在集合的学习与函数概念的教学中，在求解定义域、值域等“细枝末节”的问题上对学生进行大量人为的、繁琐的训练，但这种“釜底抽薪”的做法似乎更多的是因为受到各个模块课时的限制而造成的无奈，许多首批参与实验的教师也对此提出质疑，认为这样处理值得商榷。一元二次不等式解集的求法对于高一学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则要经历观察、思考、探究的过程。课标教材着眼于让学生体验知识形成
12、过程的精心设计值得我们在教学中细心体味，无论是一元二次不等式模型的建立、解法的归纳，还是以填空的形式让学生尝试设计求解一般一元二次不等式过程的程序框图，都为学生的思维活动留足了空间。这种从特殊到一般的处理方式符合学生的认知规律，有助于学生了解知识的形成过程和来龙去脉，加深对知识的理解，以及对隐藏在知识发生过程中的数学思想方法的领悟。另外，教学中要控制不等式的难度，一般不要超出教科书的要求，一元二次不等式的求解只要达到基本要求即可，要淡化解不等式技巧性要求，要注意加强与函数、方程的联系，积极渗透算法思想，突出不等式的实际背景及其应用，有关内容将在选修系列45中作进一步讨论。3. 3 二元一次不等
13、式（组）与简单的线性规划问题不等式作为用来刻划不等关系的有效工具，有着丰富的现实背景，不等式也是刻划区域的重要工具，刻划区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，在现实生产、生活中，经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题常常可归结为二元线性规划问题。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。教学中要注意从实际问题引入，着眼于不等式与实际问题的联系，使学生明确数学问题源于生活且用于生活。由于线性规划属于多元条件极值问题，对高一学生有一定难度，因此教学中应当强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，引导学生体会线
14、性规划的基本思想，在其它方面的一些应用不宜作过多展开。另外，直线方程是平面解析几何内容，根据指导意见先上模块5、后上模块2的顺序，学生对直线的斜率、截距、平行直线系等概念尚不清晰，无疑这也将增加学习线性规划的难度，有人提出“让线性规划回去”，也是有一定道理的。 在本节内容的后面，教材安排了阅读材料“错在哪儿”和信息技术应用“用Excel解线性规划问题举例”。前者提出的问题既有思考性又有挑战性，对于同一道习题得到不同答案的类似问题情境学生常常经历，也常常给学生带来困惑，引导学生辨析纠错，有利于培养学生思维的深刻性和反思意识。后者借助计算机为研究二元一次不等式组的解集表示的平面区域和简单的线性规划
15、问题提供试验探索平台，从动手实践、观察猜想中发现规律，且有较强的操作性，可指导学生课外完成。3.4基本不等式： 本节主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明，通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值，重点是应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同的角度探究其证明过程。根据课标立足基础、螺旋上升的教学要求，教学时要突出用基本不等式解决问题的基本方法和基本的应用，如运用基本不等式可解决周长、面积、造价的最大（小）值问题等。对不等式证明的教学不必加深，基本不等式仅限于二元均值不等式，不必推广到三个以上变量的情形，有关内容会在后续学习的选修1-2和选修2-2的推理与证明、选修4-5中的不等式选讲中得到加强。综上，不等式教学要在新课程理念指导下，讲背景、讲联系、讲应用，要立足教材，改进教学方式，要鼓励学生自主探索，重视教材中的“思考”与“探究”，要关注教材中的阅读材料，要正确把握例、习题的功能，重视课后习题的探究，要重视信息技术的使用，要感受不等式的广泛应用，要体现数学的文化价值。
