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1、高考数学思想策略【前言】实力是获取高分的基础，策略方法技巧是获取高分的关键。对于两个实力相当的同学，在考试中某些解题策略技巧使用的好坏，往往会导致两人最后的成绩有很大的差距。一、选择题解题策略数学选择题具有概栝性强，知识覆盖面广，小巧灵活，有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。解选择题的基本要求是熟练准确,灵活快速,方法得当,出奇制胜。解题一般有三种思路:一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑;三是从选择支出发探求满足题干的条件。 选择题属易题(个别为中档题),解题基本原则是:“小题不可大做”。1、直接法:涉及数学定理、定义
2、、法则、公式的问题，常从题设条件出发，通过运算或推理，直接求得结论；再与选择支对照。例:已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若f(3)= 1，则函数y=g(x1)的图像在下列各点中必经过（ ）A(2,3)B(0,3)C(2,1)D(4,1)解:由题意函数y=f(x)图像过点(3,1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点(1,3)，由此可得函数y=g(x1)的图像经过点(0,3)，故选B。2、筛选法(排除法、淘汰法):充分运用选择题中单选的特征,通过分析、推理、计算、判断,逐一排除错误支,得到正确支的解法。例.若x为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx值域是( )A.(1，B
3、.(0， C.，D.(，解: 因x为三角形中的最小内角，故x(0, )，由此可得y=sinx+cosx1，排除错误支B,C,D，应选A。3、图象法(数形结合):通过数形结合的思维过程,借于图形直观，迅速做出选择的方法。例.已知、都是第二象限角，且coscos，则（ ）Asin Ctantan Dcotcos找出、的终边位置关系，再作出判断，得B。4、特殊法:从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入、将问题特殊化,达到肯定一支或否定三支的目的,是“小题小作”的策略。特殊值:例.一等差数列前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）A24B84C72D36解:本题结论中不含n,正确性与
4、n无关,可对n取特殊值,如n=1，此时a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d=-24,所以前3n项和为36,选D。特殊函数:例.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b0，给出下列不等式:f(a)f(a)0f(b)f(b)0f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(a)+f(b)其中正确的不等式序号是（ ）ABCD解:取f(x)=-x，逐项检查可知正确。因此选B。特殊数列:例.如果等比数列an的首项是正数，公比大于1，那么数列logan（ ）A是递增的等比数列B是递减的等比数列C是递增的等差数列D是递减的等差数列解:取an=3n，易知选D。特殊位置:例.过抛物
5、线y=ax2(a0)焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）A2aBC4aD注意:立几问题也可用特殊位置解解:考察PQ与y轴垂直时有p=q=，代入得+=4a，故选C.特殊点:例.函数f(x)=+2（x0）的反函数f1(x)图像是（ ）解: 在f(x)= +2（x0）中可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都在反函数f1(x)图像上,观察得A、C。又由反函数f1(x)的定义域知选C。特殊方程:例.双曲线b2x2a2y2=a2b2 (ab0)的渐近线夹角为，离心率为e,则cos等于（ ）AeBe2CD解:本题考查双曲线
6、渐近线夹角与离心率的关系,可用特殊方程来解.取方程为=1，易得离心率e=,cos=，故选C。特殊模型:例.若实数x,y满足 (x2)2+y2=3，则最大值是（ ）ABCD解:题中=.联想数学模型:两点直线的斜率公式k=，将问题看成圆(x2)2+y2=3上点与原点O连线斜率最大值,得D.5、估算法:通过估算或列表,把复杂问题化为简单问题,求出答案的近解后再进行判断的方法。例:已知双曲线中心在原点且一焦点为，直线与其交于M、N两点,MN中点横坐标为，则此双曲线的方程是A.B.C.D.解:设方程为,由点差法得,选D.注:不必解m、n6、推理分析法:特征分析法:根据题目所提供信息,如数值特征、结构特征
7、、位置特征等，进行快速推理,作出判断的方法.例:已知sin=,cos=()，则tan=（ ）AB|CD5解: 由于受sin2+cos2=1的制约,故m为确定值，于是tan为确定值，又，1，故选D。逻辑分析法:若A真B真,则A排除，否则与有且仅有一正确结论矛盾;若AB,则A、B均假;若A与B成矛盾关系,则必有一真,可否定C与D. 例:设a,b是满足ab|a-b| B.|a+b|a-b| C.|a-b|a|-|b| D.|a-b|a|+|b|解: 因A,B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab0，可令a=1,b= 1，代入知B为真。7.验证法:将各选择支逐个代入题干中进行验证,
8、或适当选取特殊值进行检验,或采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法.例.若不等式0x2ax+a1的解集是单元素集，则a的值为（ ） (A)0 (B)2 (C)4 (D)6解: 选择支逐个代入题干中验证得a=2选B.二、填空题解题策略同选择题一样,填空题也属小题,其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题基本策略是:巧做.解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)1、直接求解法:直接从题设条件出发,用定义、性质、定理、公式等,经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.这是解填空题常用的基本方法,使用时要善
9、于“透过现象抓本质”。力求灵活、简捷。例.数列an、bn都是等差数列,a1=0、b1= -4,用Sk、Sk分别表示an、bn的前k项和(k是正整数),若Sk+ Sk=0,则ak+bk=_。解:用等差数列求和公式Sk=,得+=0，又a1+b1= -4, ak+bk=4。2.特殊化求解法:当填空题结论唯一或其值为定值时,我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之,即可得到结论。如:上例中取k=2(k1?),于是a1+a2+b1+b2=0,故a2+b2=4, 即ak+bk=4。例.已知SA,SB,SC两两所成角均为60,则平面SA
10、B与平面SAC所成的二面角为。解:取SA=SB=SC,将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成二面角为arccos.(其它特殊化方法参看选择题)3.数形结合法:根据题设条件的几何意义,画出辅助图形,借助图形的直观性,迅速作出判断的方法.文氏图、三角函数线、函数图像及方程的曲线,空间图形等,都是常用的图形.例.关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根,则实数k的取值范围是。解:令y1=,y2=k(x-2),画图计算得-k0。4、构造法:在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的模式解题,这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。例:点P在正方形ABCD所在的平面外，PD
11、ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为。解:根据题意可将上图补形成一正方体,在正方体中易求得为60注：解选择填空题时可优先作图,优先估算,优先考虑特例三、解答题解题策略1、从条件入手分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.2、从结论入手-执果索因,搭好联系条件的桥梁.3、回到定义和图形中来.4、构造辅助问题(函数、方程、图形),换一个角度去思考.5、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.6、培养整体意识，把握整体结构。7、注意承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.8、优先挖掘隐含, 优先作图观察分析9、立足特殊,发散一般:“以退求进”是一个重要的解题策略,对于一
12、个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊,化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决10、正难则反,执果索因，逆向思考:对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。11、解决探索性(开放性)问题的策略:探索性问题可以粗略地分为四种类型：条件追溯型、结论探索型、存在判断型和方法探究型。解探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行
13、严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。12、解应用性问题的思路:审题尤为重要。审题需将那些与数学无关内容抛开，以数学的眼光捕捉信息，构建模型,同时要注意将图形、文字、表格等语言转变为数学语言。具体做法是:先全面理解题意和概念背景透过冗长叙述,抓重点词句,提出重点数据综合联系，提炼数量关系,依靠数学方法,建立数学模型(模型一般很简单).如此将应用问题化为纯数学问题.此外,求解过程和结果不能离开实际背景。四、常用数学思想与方法高考数学命题以能力立意为主。若能自觉、灵活地综合运用各种数学思想与方法于所要解决的问题中，则常能使问题迎刃而解。(一）常用数学思想与方法1、函数与方程的思想: 函数思想,是
14、指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式组),然后通过解方程或不等式(组)使问题获解例.x的方程sin2xcosxa0有实根,则实数a的取值范围是_解: 设cosxt，t-1,1，则at2t1,12、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维在解题中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。例.参看选择、填空题的图象法.3、分类与整合的思想: 在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往将这个问题恰当地划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决。确定分类的标准是分类法的关键。划分时，要注意既不重复，又不遗漏。例:(04高考)从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( D ) A. B. C. D. 分析: 和为9可分为1+3+5,2+3+4,2+2+5,4+4+1,3+3+3共5种情形.4、化归与转化的思想:就是把不
