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1、专题复习：用空间向量解立体几何问题空间角1. 异面直线所成的角点A, BG直线a,C, DG直线b。构成向量AB,CD。cos v AB,CD =AB - CDabCDv AB，CD 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。2. 线面所成的角AP与平面a的法向量n所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面a所成的角0，所以AP与n的角的余弦值的绝对值为直线ap与平面a所 成的角的正弦值。:.0 = arcsin cos 3. 二面角的求法_m二面角a-1-P ,平面a的法向量m ,平面p的法向量n。 afiv m, n =0，则二面角a-1-p的平面角为0或兀-0。m
2、 - n所以，mn-,若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则 m, n为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则 m, n 为二面角的平面角。空间距离1. 点到面的距离 点P到面a的距离d可以看成AP在平面a的法向量n的方向上的射影 的长度。AP - nd =-n2. 异面直线间的距离异面直线a,b之间的距离可以看成EF(E G a,F e b)在a,b的公垂向量 n的方向上的射影的长度。3. 线面距离直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面d=1a的距离就是直线a与平面a之间的距离。其求法与点到面的
3、距离求法相同。4. 平面与平面间的距离平面a与平面P平行时，其中一个平面a上任意一点到平面P的距离就是平面a与平面。间的距 离。其求法与点到面的距离求法相同。例题： 例1. (07,重庆理19)如题(19)图,在直三棱柱曷。一4中，仙广2，AB = 1，ZABC = 90 ；点 D，E 分别在 BB，AD 上，且BE AD，四棱1111锥C - ABDA1与直三棱柱的体积之比为3:5(I)求异面直线de与Be的距离;(11)若BC =、，求二面角A1 - DC - B1的平面角的正切值答案:3（3（II） 2BC2. （07,天津理19）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA 1底面ABCD，
4、AB 1 AD, AC 1 CD，/ABC = 60，PA = AB = BC，E 是PC 的中 点(I)(II)(III)证明CD AE ；证明PD 1平面ABE ；答案:(III) arcsini4求二面角A - PD - C的大小3. （07,四川理19）如图，PCBM 是直角梯形，/PCB =90, PM BC, PM =1, BC =2,又AC =1,Z ACB =120, AB PC ,直线AM与直线PC所成的角为60 r犬（I）求证：平面PAC上平面ABC ；/（II） 求二面角M - AC - B的大小；./（I）求三棱锥P - MAC的体积/匕蜃、，、 矿、百答案：（II）
5、arccos （III） t7124 . （07 ,陕西理19）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P - ABCD 中,AD / BC, ZABC = 90。，PA 1 平面 ABCD, PA = 4, AD = 2, AB = 2* ,BC=6(I)求证:BD BD 1 平面 PAC;（II）求二面角P - BD - D的大小答案:3有(Il) arccos 315. （07,山东理19）如图,在直四棱柱ABCD-AiBCiDi中，DC = DD1 = 2AD = 2AB , AD 1 DC , AB DC(I) 设E是DC的中点，求证：D1E 平面A1BD1 ；(II) 求二面角A1 - BD
6、 - C1的余弦值答案：（II）二面角A1 - BD - C1的余弦为6. （07，全国II理19）如图，在四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD上底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点（1）证明EF 平面SAD ；（2）设SD = 2DC，求二面角A - EF - D的大小-、v3答案：（2） arccos =-7. （07,全国I理19）四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，侧面SBC 1底面ABCD 已知/ABC = 45 , AB = 2 , BC = 2豆,SA = SB =总(I) 证明 SA BC ；(II) 求直线SD与平面SAB所
7、成角的大小答案:(Il)arcsmfBi8 - ( 07 ,辽宁理18)如图在直三棱柱ABC IBS中，ACB = 90。，AC = BC = a , D, E 分别为棱 AB, BC 的中点，M为棱AA上的点，二面角M - DE - A为30。1(I) 证明：AB CD ；1 11(II) 求MA的长，并求点C到平面MDE的距离a答案:(I)-Bi作业：1. (07，江西理20 )右图是一个直三棱柱(以ABC为底面)被一平面所截得 1 1 1到的几何体，截面为ABC已知AB = BC =1，ZABC = 90。，AA = 4，11111 1 11BB = 2，CC1= 3(1)设点O是AB的
8、中点，证明：OC 平面ABC ；3答案：(2) 30。(3)-CD的中点，G是EF上的一点，将求二面角B-AC T的大小;(3)求此几何体的体积2. (07，湖南理18)如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，GAB，AGCD 分别沿 AB，CD 翻折成$AB，GCD，并连结G1G2，使得平面G1 AB上平面ABCD，G1G2 AD，且 G1G2 AD连结BG2，如图2图2证明：平面qAB 5面QADG2 ；(II)当AB = 12，BC = 25，EG = 8时，求直线BG2和平面G1 ADG2所成的角、 12巨答案：(II) arcsin -3. （07,湖北理18）如图，在三棱锥V - ABC中，VC上底面ABC , AC BC , D是AB的中点，且I nAC = BC = a , ZVDC =00 9 气。（I）求证：平面VAB VCD ；（II）当解9变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围一 n、答案：（I） 0，”4 7（07,福建理18）如图，正三棱柱ABC - ABC的所有棱长都为2，D为当中点（I）求证：ABi 5面 % ；（II）求二面角A-A】D-B的大小;(iii)、210 （ill）求点C到平面d的距离答案：（II）就洞了
