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1、2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案新人教A版必修第一册2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案新人教A版必修第一册年级:姓名:33幂函数内容标准学科素养1.通过实例,了解幂函数的概念数学抽象直观想象数学运算2.结合函数yx、yx2、yx3、yx、y的图象,了解它们的变化情况及性质3.会利用幂函数解决一些问题.授课提示:对应学生用书第44页教材提炼知识点一幂函数的定义函数f(x)x、f(x)x2、f(x),以前叫什么函数,它们有什么共同特征? 知识梳理(1)一般地,函数yx叫做幂函数(power function),其
2、中x是自变量,是常数(2)幂函数解析式的结构特征指数为常数;底数是自变量,自变量的系数为1;幂x的系数为1;只有1项知识点二幂函数的图象和性质函数yx,yx2、y的图象在第一象限都过什么点?单调性如何? 知识梳理常见幂函数(1)yx、yx2、yx3、yx、yx1的图象(2)性质幂函数性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0,)x|xR且x0值域R0,)R0,)x|yR且y0单调性在R上为增函数x0,)时,单调递增x(,0)时,单调递减在R上为增函数在0,)上为增函数x(0,)时,单调递减x(,0)时,单调递减定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),
3、(1,1)(1,1)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇自主检测1下列函数为幂函数的是()Ay2x3By2x21Cy Dy答案:C2已知幂函数yf(x)的图象过(4,2)点,则f()A. B.C. D.答案:D3幂函数yx(R)恒过定点_答案:(1,1)4已知幂函数f(x)满足f(2),则f(x)_.答案:授课提示:对应学生用书第45页探究一幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数,且当x(0,)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式解析由m2m11得,m2m20,解得m2或m1.当m2时,m2m33,f(x)x3符合要求,当m1,m2m330,f(x)x3在(0,)为减函数,不符合要求
4、综上,f(x)x3.判断幂函数的依据形如yx的函数叫幂函数,它具有三个特点:(1)系数为1.(2)指数为常数(也可以为0)(3)后面不加任何项若函数f(x)(2m3)xm23是幂函数,则m的值为()A1B0C1 D2解析:幂函数是形如f(x)x的函数,所以2m31,m1.答案:A探究二幂函数的图象例2幂函数yx2,yx1,yx,yx在第一象限内的图象依次是图中的曲线()AC2,C1,C3,C4BC4,C1,C3,C2CC3,C2,C1,C4DC1,C4,C2,C3解析由于在第一象限内直线x1的右侧时,幂函数yx的图象从上到下相应的指数由大变小,故幂函数yx2在第一象限内的图象为C1,同理,yx
5、1在第一象限的图象为C4,yx在第一象限内的图象为C2,yx在第一象限内的图象为C3,故选D.答案D幂函数在第一象限内指数变化规律:在第一象限内直线x1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.已知幂函数yxn,yxm,yxp的图象如图,则()AmnpBmpnCnpmDpnm答案:C探究三幂函数的性质例3(1)求下列函数的定义域,并指出其奇偶性和单调性yx;yx;yx2;yx.解析函数yx,即y,其定义域为R;是偶函数;它在0,)上为增函数,在(,0上为减函数函数yx,即y,其定义域为0,);既不是奇函数,也不是偶函数;它在0,)上为增函数函
6、数yx2,即y,其定义域为(,0)(0,);是偶函数;它在(0,)上为减函数,在(,0)上为增函数函数yx,即y,其定义域为(0,);既不是奇函数,也不是偶函数;它在(0,)上为减函数要类比常见幂函数的性质,利用其共性对于单调性、奇偶性按一般函数的判断方法(2)比较幂值大小:3和3.1;8和;和;4.1,3.8和(1.9).解析函数yx在(0,)上为减函数,又33.1.8,函数yx在(0,)上为增函数,又,则,从而8,11,03.811,(1.9)0,(1.9)3.8(4.1).幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值,若指数相同,底数不同时,考虑应用幂函数的单调性;考虑借助中间量“1”“0”“
7、1”进行比较(3)已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,)上函数值随x的增大而减小,求满足(a1)(32a)的a的取值范围解析函数在(0,)上单调递减,3m90,解得m3.又mN*,m1,2.又函数图象关于y轴对称,3m9为偶数,故m1.由题意得(a1)(32a).yx在(,0),(0,)上均单调递减,a132a0或0a132a或a1032a,解得a或a1.利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数;(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系
8、,转化为自变量的大小关系;(3)解不等式求参数范围,注意分类讨论思想的应用授课提示:对应学生用书第46页“幂异形同”的幂函数家族幂函数图象性质的拓展对于幂函数yx(R)时,可视为yx型(p,q互异)根据最简分数的值,来类比常见幂函数的图象(1)当0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数值随x的增大而增大;在第一象限内,1时,图象是向下凸的;01时,图象是向上凸的;在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无限伸展(2)当0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凸的;在第一象限内,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近;在第一象限内
9、,过点(1,1)后,|越大,图象下降的速度越快(3)幂函数的奇偶性yx,当(p,qZ)是最简分数时,当p,q均为奇数时,yx是奇函数;当p为偶数,q为奇数时,yx是偶函数;当q为偶数时,yx为非奇非偶函数典例1.yx的图象是()解析0,f(x)x在(0,)是减函数,而f(x)x,定义域为(,0)(0,)f(x)f(x),f(x)是偶函数,图象关于y轴对称答案A2如图,函数yx的图象是()解析yx0,故只有D中的图象适合答案D3如果一个函数f(x)在其定义域内对任意x,y都满足ff(x)f(y),则称这个函数为下凸函数下列函数:(1)f(x)2;(2)f(x)x3;(3)f(x);(4)f(x)中是下凸函数的有()A(1)(2)B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)解析本题既可用定义来判断,也可由函数的图象直接求解,得(1)(4)满足定义答案D