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1、2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案新人教A版必修第一册2020-2021学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案新人教A版必修第一册年级：姓名：33幂函数内容标准学科素养1.通过实例，了解幂函数的概念数学抽象直观想象数学运算2.结合函数yx、yx2、yx3、yx、y的图象，了解它们的变化情况及性质3.会利用幂函数解决一些问题.授课提示：对应学生用书第44页教材提炼知识点一幂函数的定义函数f(x)x、f(x)x2、f(x)，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 知识梳理(1)一般地，函数yx叫做幂函数(power function)，其
2、中x是自变量，是常数(2)幂函数解析式的结构特征指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂x的系数为1；只有1项知识点二幂函数的图象和性质函数yx，yx2、y的图象在第一象限都过什么点？单调性如何？ 知识梳理常见幂函数(1)yx、yx2、yx3、yx、yx1的图象(2)性质幂函数性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)x|yR且y0单调性在R上为增函数x0，)时，单调递增x(，0)时，单调递减在R上为增函数在0，)上为增函数x(0，)时，单调递减x(，0)时，单调递减定点(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，
3、(1,1)(1,1)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇自主检测1下列函数为幂函数的是()Ay2x3By2x21Cy Dy答案：C2已知幂函数yf(x)的图象过(4,2)点，则f()A. B.C. D.答案：D3幂函数yx(R)恒过定点_答案：(1,1)4已知幂函数f(x)满足f(2)，则f(x)_.答案：授课提示：对应学生用书第45页探究一幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解析由m2m11得，m2m20，解得m2或m1.当m2时，m2m33，f(x)x3符合要求，当m1，m2m330，f(x)x3在(0，)为减函数，不符合要求
4、综上，f(x)x3.判断幂函数的依据形如yx的函数叫幂函数，它具有三个特点：(1)系数为1.(2)指数为常数(也可以为0)(3)后面不加任何项若函数f(x)(2m3)xm23是幂函数，则m的值为()A1B0C1 D2解析：幂函数是形如f(x)x的函数，所以2m31，m1.答案：A探究二幂函数的图象例2幂函数yx2，yx1，yx，yx在第一象限内的图象依次是图中的曲线()AC2，C1，C3，C4BC4，C1，C3，C2CC3，C2，C1，C4DC1，C4，C2，C3解析由于在第一象限内直线x1的右侧时，幂函数yx的图象从上到下相应的指数由大变小，故幂函数yx2在第一象限内的图象为C1，同理，yx
5、1在第一象限的图象为C4，yx在第一象限内的图象为C2，yx在第一象限内的图象为C3，故选D.答案D幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.已知幂函数yxn，yxm，yxp的图象如图，则()AmnpBmpnCnpmDpnm答案：C探究三幂函数的性质例3(1)求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性yx；yx；yx2；yx.解析函数yx，即y，其定义域为R；是偶函数；它在0，)上为增函数，在(，0上为减函数函数yx，即y，其定义域为0，)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在0，)上为增函数函
6、数yx2，即y，其定义域为(，0)(0，)；是偶函数；它在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数函数yx，即y，其定义域为(0，)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0，)上为减函数要类比常见幂函数的性质，利用其共性对于单调性、奇偶性按一般函数的判断方法(2)比较幂值大小：3和3.1；8和；和；4.1，3.8和(1.9).解析函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而8，11,03.811，(1.9)0，(1.9)3.8(4.1).幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同时，考虑应用幂函数的单调性；考虑借助中间量“1”“0”“
7、1”进行比较(3)已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)(32a)的a的取值范围解析函数在(0，)上单调递减，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1.由题意得(a1)(32a).yx在(，0)，(0，)上均单调递减，a132a0或0a132a或a1032a，解得a或a1.利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系
8、，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用授课提示：对应学生用书第46页“幂异形同”的幂函数家族幂函数图象性质的拓展对于幂函数yx(R)时，可视为yx型(p，q互异)根据最简分数的值，来类比常见幂函数的图象(1)当0时，图象都通过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而增大；在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展(2)当0时，图象都通过点(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；在第一象限内
9、，过点(1,1)后，|越大，图象下降的速度越快(3)幂函数的奇偶性yx，当(p，qZ)是最简分数时，当p，q均为奇数时，yx是奇函数；当p为偶数，q为奇数时，yx是偶函数；当q为偶数时，yx为非奇非偶函数典例1.yx的图象是()解析0，f(x)x在(0，)是减函数，而f(x)x，定义域为(，0)(0，)f(x)f(x)，f(x)是偶函数，图象关于y轴对称答案A2如图，函数yx的图象是()解析yx0，故只有D中的图象适合答案D3如果一个函数f(x)在其定义域内对任意x，y都满足ff(x)f(y)，则称这个函数为下凸函数下列函数：(1)f(x)2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)中是下凸函数的有()A(1)(2)B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)解析本题既可用定义来判断，也可由函数的图象直接求解，得(1)(4)满足定义答案D
