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1、九年级上期北师大版数学典型例题选集一、 三角形内切矩形问题 ABCEDFHGI如图:ABC内的有一个矩形DEGF。D点在AB上,E点在AC上,F点和G点在BC上,AH是BC边上的高。AH交DE于点I。(1)如果BC=a,AH=h,DE=x,EG=y。写出a、h、x、y之间的关系(2)如果BC=20,AH=24,矩形DEGF的面积是30。求矩形的长和宽各是多少?(3)如果BC=20,AH=24,四边形DEGF是正方形,求这个正方形的边长。(4)如果BC=20,AH=24,矩形DEGH的面积为S,DE=x,写出S和x之间的函数关系,并判断当DE等于多少时矩形DEGF此题包含了以下知识:1、 相似(
2、列比例式)2、 分式的计算(整理比例式)3、 一元二次方程4、 配方法求极值。其中相似是基础,分式的计算是关键,难点是函数思想。提高是用配方法来求函数的极值。题目点评:数形结合的面积最大?二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形,用勾股定理)ADCBEF(1)已知四边形ABCD是矩形。AB=6,BC=10。将AD沿AE对折,点D正好落在BC边点F上。求: CE的长 DE的长 折痕AE的长 CFE的面积 AEBCDF(2)已知四边形ABCD是矩形。AB=6,BC=10。将AB沿AE对折,点B正好落在对角线AC边点F上。求: CE的长 BE的长 折痕AE的长 CFE的面积 AFEBCDP(3)已知
3、四边形ABCD是矩形。AB=6,BC=10。将BC沿BD对折,点C正好落在E点F上。PF是BDF边BD上的高。求: EF的长 DF的长 PF的长 BDF的面积。GAFEBCDP(4)已知四边形ABCD是矩形。AB=6,BC=10。将BD对折,点B正好落在点D上,A点落在E点上。求: EF的长 BE的长 折痕FG的长 四边形BGDF是什么图形? (注意体会与上图的联系)三、商品的涨跌与销售问题例题:新华商场销售某种冰箱。每台进货价为2500元。市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多卖4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000
4、元,每台冰箱的定价应为多少元?分析:(1) 每台冰箱赚多少元?现定价(不是2900元)成本(2) 每台冰箱降多少元?(2900现价)(3) 降价后现在售出多少台?(8台+增加的台数)(4) 怎样列出方程?1台赚的钱卖出台数=8000元(5) 怎样设计算最简便(可设现定价,也可设降价)(6) 选哪种方法解方程最简单(配方法)(7) 方程的根要检验是否合题意。(a+4,4)(0,a)(a,0)ABCyxo四、动点变化与方程(或函数)问题(1)坐标轴内的动点问题如图:直角坐标内有三点A(a,0),B(0,a),C(a+4,2),且三角形ABC 的面积为24。求a的值。PQABCD(2)图形中的动点问
5、题(关键是用含用未知数的代数式表示相关线段)如图:矩形ABCD中AB=12cm,BC=20cm。AD边上有一动点,从A到D,每秒移动2cm,BC边上有一动点,从C到B,每秒移动3cm。(1) 几秒时PO距离为10cm?(2) 几秒时梯形ABQP的面积为100cm2 ?(3) 几秒时,梯形ABQP的面积等于梯形CQPD的面积?这类题,如果用方程求出x的值,然后再代入求值,计算难度相当大,往往计算出错。最好的办法采取整体代入法。代入一个式子来计算。如题代入题代入题代入小结:整体代入法五、求代数式的值问题(1)根据已知条件求代数式的值已知:的一个根为,求的值。已知:,求的值。已知:,求:的值。(2)
6、用配方法求代数式的极值(最大值与最小值)配方法求二次三项式的极值:关键看二次项和一次项。配一次项系数一半的平方,注意加上一次项系数一半的平方后立即在常数项中减下来,这样才不会改变代数式的结果。 说明不论x取何实数,代数式的值总大于3。说明不论x取何实数,代数式的值总大于。说明不论x取何实数,代数式的值总小于20。ABCDE六、投影与三角形问题(1) 平行投影 (关键是相似(直角)三角形的运用)如图AB和CD两根木杆竖立立在地面上,同一时刻在阳光下AB的影子如图所示,作出CD的影子DF。 同时量得DE=3.2m,CD=1m,CD的影子长80cmAPBCDQE求AB的高度。(2) 中心投影 (找出
7、图中的相似三角形列出比例式求解)如图:AB和CD是两根相距4米的同样高的标杆,在灯光P下的影子。已知AB的影子BE长6米。求灯P的垂直高度PQ。七、三类函数综合问题(正比例函数、一次函数、反比例函数)1、 如图,正比例函数 (k0)与反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴的垂线交x轴于B,连结BC,求ABC面积S。2、正比例函数与反比例函数的图象相交于点P(a,b),a,b异号且OP=5,过P作x轴的垂线PQ交x轴于Q,且SPQO=6(如图)求这两个函数的解析式。3、D为反比例函数:图象上一点.过D作DCy轴于C, DEx轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形
8、DCAE的面积为4,求k的值.OyxAB4、已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点, 求:(1)A、B两点的坐标;(2)AOB的面积。M(2,m)N (1,4)xy5、如图所示,一次函数的图像与反比例函数的图像交于M、N两点。(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围6、如图,已知反比例函数的图象经过点A,过点A作ABx轴于点B,且AOB的面积为。(1) 求k和m的值;(2) 若一次函数的图象经过点A,并且与x轴相(3) 交于点C,求ACO的度数和的值。小结:(1) 对称反比例函数关于原点对称,反比例函数与正比例函数的
9、交点也关于原点对称。(2) 代入一点代入法:正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式;两点代入法:一次函数需要代入两点才可以求出解析式。(3) 求k值反比例函数的;正比例函数的(注意符号与象限);一次函数可平移成正比例函数来求k值。(4) 函数与方程组求两个函数的交点,就是解这两个函数组成的方程组。(5) 函数与面积图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意:反比例函数的K值就是矩形面积。不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。八、韦达定理和根的判别式1、方程 的两个根分别为 和 ,求: | |= 2、已知方程 的一个根是 1,求 另一根与K的值。3、已知a、b、c为三角形三边长,且方程有两个相等的实数根.试判断此三角形形状,说明理由.4、若一元二次方程 的两根之比为2:3,那么a、b、c间有怎样的关系?1九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页