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1、九年级上期北师大版数学典型例题选集一、 三角形内切矩形问题 ABCEDFHGI如图：ABC内的有一个矩形DEGF。D点在AB上，E点在AC上，F点和G点在BC上，AH是BC边上的高。AH交DE于点I。（1）如果BC=a，AH=h，DE=x，EG=y。写出a、h、x、y之间的关系（2）如果BC=20，AH=24，矩形DEGF的面积是30。求矩形的长和宽各是多少？（3）如果BC=20，AH=24，四边形DEGF是正方形，求这个正方形的边长。（4）如果BC=20，AH=24，矩形DEGH的面积为S，DE=x，写出S和x之间的函数关系，并判断当DE等于多少时矩形DEGF此题包含了以下知识：1、 相似（
2、列比例式）2、 分式的计算（整理比例式）3、 一元二次方程4、 配方法求极值。其中相似是基础，分式的计算是关键，难点是函数思想。提高是用配方法来求函数的极值。题目点评：数形结合的面积最大？二、矩形的对折问题 (关键是打直角三角形，用勾股定理)ADCBEF（1）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AD沿AE对折，点D正好落在BC边点F上。求： CE的长 DE的长 折痕AE的长 CFE的面积 AEBCDF（2）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将AB沿AE对折，点B正好落在对角线AC边点F上。求： CE的长 BE的长 折痕AE的长 CFE的面积 AFEBCDP（3）已知
3、四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BC沿BD对折，点C正好落在E点F上。PF是BDF边BD上的高。求： EF的长 DF的长 PF的长 BDF的面积。GAFEBCDP（4）已知四边形ABCD是矩形。AB=6，BC=10。将BD对折，点B正好落在点D上,A点落在E点上。求： EF的长 BE的长 折痕FG的长 四边形BGDF是什么图形? (注意体会与上图的联系)三、商品的涨跌与销售问题例题：新华商场销售某种冰箱。每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多卖4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000
4、元，每台冰箱的定价应为多少元？分析：（1） 每台冰箱赚多少元？现定价（不是2900元）成本（2） 每台冰箱降多少元？(2900现价)（3） 降价后现在售出多少台？(8台+增加的台数)（4） 怎样列出方程？1台赚的钱卖出台数=8000元（5） 怎样设计算最简便（可设现定价，也可设降价）（6） 选哪种方法解方程最简单（配方法）（7） 方程的根要检验是否合题意。(a+4，4)(0，a)(a，0)ABCyxo四、动点变化与方程（或函数）问题（1）坐标轴内的动点问题如图：直角坐标内有三点A（a,0），B（0，a），C（a+4，2），且三角形ABC 的面积为24。求a的值。PQABCD（2）图形中的动点问
5、题（关键是用含用未知数的代数式表示相关线段）如图：矩形ABCD中AB=12cm，BC=20cm。AD边上有一动点，从A到D，每秒移动2cm，BC边上有一动点，从C到B，每秒移动3cm。（1） 几秒时PO距离为10cm？（2） 几秒时梯形ABQP的面积为100cm2 ？（3） 几秒时，梯形ABQP的面积等于梯形CQPD的面积？这类题，如果用方程求出x的值，然后再代入求值，计算难度相当大，往往计算出错。最好的办法采取整体代入法。代入一个式子来计算。如题代入题代入题代入小结：整体代入法五、求代数式的值问题（1）根据已知条件求代数式的值已知：的一个根为，求的值。已知：，求的值。已知：，求：的值。（2）
6、用配方法求代数式的极值（最大值与最小值）配方法求二次三项式的极值：关键看二次项和一次项。配一次项系数一半的平方，注意加上一次项系数一半的平方后立即在常数项中减下来，这样才不会改变代数式的结果。 说明不论x取何实数，代数式的值总大于3。说明不论x取何实数，代数式的值总大于。说明不论x取何实数，代数式的值总小于20。ABCDE六、投影与三角形问题（1） 平行投影 (关键是相似(直角)三角形的运用)如图AB和CD两根木杆竖立立在地面上，同一时刻在阳光下AB的影子如图所示，作出CD的影子DF。 同时量得DE=3.2m，CD=1m，CD的影子长80cmAPBCDQE求AB的高度。（2） 中心投影 （找出
7、图中的相似三角形列出比例式求解）如图：AB和CD是两根相距4米的同样高的标杆，在灯光P下的影子。已知AB的影子BE长6米。求灯P的垂直高度PQ。七、三类函数综合问题（正比例函数、一次函数、反比例函数）1、 如图，正比例函数 (k0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，求ABC面积S。2、正比例函数与反比例函数的图象相交于点P（a,b），a,b异号且OP=5，过P作x轴的垂线PQ交x轴于Q，且SPQO=6（如图）求这两个函数的解析式。3、D为反比例函数：图象上一点.过D作DCy轴于C, DEx轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形
8、DCAE的面积为4，求k的值.OyxAB4、已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点， 求：(1)A、B两点的坐标；(2)AOB的面积。M(2,m)N (1,4)xy5、如图所示，一次函数的图像与反比例函数的图像交于M、N两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围6、如图，已知反比例函数的图象经过点A，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为。(1) 求k和m的值；(2) 若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相(3) 交于点C，求ACO的度数和的值。小结：（1） 对称反比例函数关于原点对称，反比例函数与正比例函数的
9、交点也关于原点对称。（2） 代入一点代入法：正、反比例函数只代入一点就可以求出解析式；两点代入法：一次函数需要代入两点才可以求出解析式。（3） 求k值反比例函数的；正比例函数的（注意符号与象限）；一次函数可平移成正比例函数来求k值。（4） 函数与方程组求两个函数的交点，就是解这两个函数组成的方程组。（5） 函数与面积图象中关键点的横坐标和纵坐标就是图形的高。注意：反比例函数的K值就是矩形面积。不好直接求的三角形可分成几个小三角形来求解。八、韦达定理和根的判别式1、方程 的两个根分别为 和 ,求： | |= 2、已知方程 的一个根是 1，求 另一根与K的值。3、已知a、b、c为三角形三边长，且方程有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.4、若一元二次方程 的两根之比为2：3，那么a、b、c间有怎样的关系?1九年级数学上期复习资料 第 页 共 6 页
