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1、高等数学高等数学III（微积分下）不考内容（微积分下）不考内容第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用1、第六节 反常积分与函数不考2、第八节 定积分的经济应用不考第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第四节至第七节不考 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 1、第二节 四小节 偏导数在经济分析中的应用不考2、第三节 二小节 全微分在近似计算中的应用不考3、第五节 二小节 方程组的情形不考4、第七节 最小二乘法不考 第九章第九章 二重积分二重积分 第二节 三小节 无界区域上的反常二重积分不考 第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程1、第二节 四小节 一阶
2、微分方程的平衡解及其稳定性简介不考2、第三节不考3、第六节至第九节不考 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 1、第四节 一小节 函数的泰勒级数 三小节 函数展成泰勒级数的间接方法不考2、第五节不考 高等数学高等数学IIIIII（微积分）（微积分）( (下）下）总复习总复习 第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容微微 元元 法法理理 论论 依
3、依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式2.可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理21.1.定积分的定义定积分的定义3.3.定积分的性质定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式4.4.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式5.5.定积分
4、的计算法定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式.)()(:)()(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量理论依据：理论依据：dxxfdxxfUbadxxfdUUba = = =6. 6. 微元法理论依据微元法理论依据解题步骤解题步骤7. 7. 定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形(2) 体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的
5、体积二、典型例题二、典型例题例例1 1解解1. 1. 变上限函数求导变上限函数求导答答问问例例2 2解解2. 2. 定积分计算定积分计算例例3 3解解例例4 4解解是偶函数是偶函数,例例5 5 由由 1. 1. 求求其所围成的其所围成的图形的面积图形的面积. .所围的所围的平面图形如图所示平面图形如图所示0xy12. 2. 它绕它绕x轴旋转而成的轴旋转而成的 旋转体体积旋转体体积解解1. 2. 奇函数奇函数计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积例例7 7 计算计算解解第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何1、空间曲线方程的概念 空间曲线可以看作两个曲面的交
6、线. 设 曲 线是 曲 面S1与S2的 交 线, 因此, 曲线可以用上述方程组来表示。 上述方程组叫做空间曲线的一般方程。则点P在曲线上当且仅当点P的坐标满足方程组S1 F1(x, y, z)=0, S2 F2(x, y, z)=0, 而曲面的方程分别为S1S2F1(x, y, z)=0, F2(x, y, z)=0, 抛物柱面抛物柱面平面平面( Cylinder of the second order parabolic )2、 柱面柱面( cylinder )从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/ 轴轴双曲柱面双曲柱面
7、母线母线/ 轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/ 轴轴旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入3 3、旋转曲面、旋转曲面(surfaces of revolution )将将 代入代入得方程得方程例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面( hyperboloid )旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面( Ellipsoid )( Paraboloid )消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为
8、准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：4、空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线截线方程为截线方程为解解如图如图,第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运
9、 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1.1.区域区域（1）邻域）邻域2.2.多元函数概念多元函数概念3.3.多元函数的极限多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函
10、数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算5.5.多元函数的连续性多元函数的连续性6.6.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D
11、 D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理7.7.偏导数概念偏导数概念8. 8. 高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.9.9.全微分概念全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导10. 10. 复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.隐函数的求导公式隐函数的求导公式11. 11. 隐函数的求导法则
12、隐函数的求导法则12. 12. 多元函数的极值多元函数的极值定义定义多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解解解解解解解所求全微分所求全微分例例5 5解解分析分析:得得第九章第九章 重重 积积 分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法二二重重积积分分一、主要内容一、主要内容. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二
13、重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值1.1.二重积分的定义二重积分的定义性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质. . 二重积分的性质二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地特殊地性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）. .二重积分的计算二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于
14、两个交点.（）直角坐标系下）直角坐标系下 Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型（）极坐标系下）极坐标系下5.5.二重积分的几何应用二重积分的几何应用（）计算平面图形的面积）计算平面图形的面积（2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积二、典型例题二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例3 3解解例例4 4解解第十章微分方程
15、第十章微分方程基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4. 4. 线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程微分方程微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法变量代换法变量代换法常数变易法常数变易
16、法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法降降降降阶阶阶阶作作变变换换1.1.微分方程基本概念微分方程基本概念微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解微分方程的解通解通解特解特解初始条件初始条件初值问题初值问题(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2.2.一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法(2) 齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程上述方程称为齐次的上述方程称为齐次的上述方程称为非齐次的上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（用分离变量法）（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非
17、齐次微分方程的通解为（用常数变易法）（用常数变易法）3.3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得. .线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :（2 2）二阶非齐次线性方程解的结构）二阶非齐次线性方程解的结构: :. .二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线
18、性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为. .二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为解解例例2 2第一步，求相应的齐次方程的通解第一步，求相应的齐次方程的通解.2的通解的通解求方程求方程xxydxdy= =-
19、-解解例例2 2第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解.2的通解的通解求方程求方程xxydxdy= =- -例例3 3解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通
20、解为故原方程的通解为由由即即例例6 6解解（）由题设可得：）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为第十一章第十一章 无穷级数无穷级数常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数交交错错级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数一一般般项项级级数数泰勒级数泰勒级数在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容1.1.常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1:
21、: 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法：常数项级数审敛法：正项级数交错级数一般项级数 1. 若 则级数收敛. 2. 当 的极限不为零，则级数发散. 3
22、. 按基本性质 4. 充要条件 5. 比较法 6. 比值法 7. 根值法 4.莱布尼茨 定理4. 绝对收敛定义定义2. 2. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. .3. 3. 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4. 4. 任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法5. 5. 函数项级数函数项级数(1) (1) 定义定义(2) (2
23、) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域(3) (3) 和函数和函数(1) (1) 定义定义6. 6. 幂级数幂级数(2) (2) 收敛性收敛性推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间.开区间开区间a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法(其中其中b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :二、典型例题二、典型例题例例1 1解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛解解从而有从而有原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛例例解解两边逐项积分两边逐项积分
