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1、信号处理新方法M 通道滤波器组第 8 章 M 通道滤波器组8. 1 M通道滤波器组的基本关系图 8.1.1 是一个标准的 M 通道滤波器组。图 8.1.1 M 通道滤波器组由第五章第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系：X (z) = X (z)H (z)(8.1.1)kk1 MP 1+V (z)= 乙 X (W 1zm ) k M k Ml=01 MP 111= 乙 X(WlzM)H (W1zm)(8.1.2)MMk Ml=0及滤波器组的最后输出U (z ) = V zM = 1_1 X zW 1 H) zW( 1)(8.1.3)kkMM k M1=0 (z)=龙 G (z
2、)U (z)kkk 二 01 m 1m i= 乙 X (zW 1)乙 H (zW 1) G (z)MMkM kA (z)=龙 H (zW 1) G (z)1Mk M kk=0(8.1.5)(8.1.6)(8.1.7)1=0k=0 (z)=龙 A (z) X (zW 1)1M 1=0这样，最后的输出f (z)是X (zW 1)的加权和。由于MX ( zW 1 )M在心0时是X (ejs )的移位，因此,X (ej)是X (e j )及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在1工0时，X (e j(-2兀1 /M )是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证A (z) = 01 = 1 M -1(8.1
3、.8)1则可以去除图 8.1.1 所示滤波器组中的混迭失真.(8.1.9)再定义T (z) A (z) = H (z) G (z)0 M k kk=0显然，T (z)是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。这时，J? (z)是否对X (z)产生幅度失真和相位失真就取决于T (z)的性能。若T (z)是全通的，也即|t (ej)|=常数，k , 那么滤波器组可避免幅度失真，若T (z)再具有T (z) = cz -k的形式，那么滤波器组又将消 除相位失真。因此，(8.1.9)式的 T (z) 和(7.2.4)式的 T(z) 一样，都称为“失真函数”。由(8.1.5)式， A (z) A (z) 能
4、否为零取决于 H (z)，G (z)，k = 0 M -1的性1M - 1kk质。将该式写成矩阵形式，有A (z)0 H (z)0H (z)1-H(z)M -1G (z)0MA (z)1=H (zW )0H (zW )1-H (zW )M -1G (z)1(8.1.10)A (z)M - 1H (zW m -1)0H ( zW M -1)1 H (zW m -1)M -1G (z)M -1t(z) = MA (z),0,，0 T, g(z) = G (z),，G(z) T(8.1.11)00M -1并令(8 . 1 . 1 0)式右边的矩阵为 H (z) ，则在去除混迭失真的情况下，有t(z)
5、 = H (z)g(z)(8.1.12)式中H (z)的第一行是H (z), H(z)，第二至第M-1行分别是由这M个滤波器的依0M - 1次移位所构成。因此，H (z)又称“混迭分量(Alias Component, AC)矩阵”它等效于 两通道情况下由(7.2.8a)式给出的矩阵H 。m由( 8.1.12 )式，我们有g(z) = H -1(z)t(z)丄13)为保证去除混迭失真，可选t (z) = MA (z),0,，0 T = c z -k ,0,，0。这样，若H (z)已0知，即可求出综合滤波器组 g(z) 。且整个的 M 通道滤波器组还具有 PR 性质。但(8.1.13) 式在实际
6、应用中有一系列的问题，这是因为：adj H ( z) g (z) =t (z)丄14)det H ( z)式中 adj H (z) 是 H (z) 的伴随矩阵。(1) 若 H (z) 是 FIR 的，显然 det H ( z) 也是 FIR 的，这时 g(z) 将变成 IIR 的；(2) 若选择d e H z( =) c zn0t z，)这时g (z)可保证是FIR的，但由于 g (z ) = adEj z，因此g (z)的阶次将远大于H (z)；(3) 若 H (z) 有零点在单位圆上， g(z) 的幅度将会产生较大的失真。 此外，由( 8.1.13)式或( 8.1.14)式并不容易找出 H
7、 (z) 、 g(z) 的关系以及 H (z) 自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实 现 PR 的途径。82 M通道滤波器的多相结构仿照(7.6.9)和(7.6.10)式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：Hk(z)=t1z-lE(z M )k,l(8.2.1)l=0写成矩阵形式，有一 H(z)E (zM )E (zM )E(zM)_ 1 -00,00,10,M -1H(z)E (zM )E (zM )E(zM)z -11=1,01,11,M -1:H(z )E(zM )E(zM ) E(zM )z - (M -1)M - 1M -1,0M -1,
8、1M -1,M -1h(z) = H (z), H (z),，H (z) t , e (z) = 1, z-1,，z -(M - 1)T (823)01M -1并记(8.2.2)式右边的矩阵为 E(zM )，则h(z) = E (zm )e(z)(8.2.4)E(zm )称为多相矩阵，而h(z)是由上一节的AC矩阵H (z)的第一列构成的。同理，对综合滤波器组G (z)按第二类多相结构展开，有kl 二 0z-(M -1-l)Rl,k(zM)(8.2.5)写成矩阵形式：g (z), G (z)，,G (z)=01M - 1R (zM )0,0R (zM )1,0R (zM )0,1R (zM )
9、1,1R (zM )M - 1,0R (zM )M - 1,1R(zM )0,M -1R(zM )1, M -1R(zM )M -1, M -1(8.2.6)记该式右边的多相矩阵为 R(zM )，则(8.2.6)式可写为如下更简洁的形式：gT (z) = z-(M j)e (z)R (zM )(8.2.7)式中 g(z)已在(8.1.11)式中定义，e(z) = e(z-】)t。利用(8.2.2)和(8.2.6)式，图 8.1.1 的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图(和(c) 的形式。在图(c)中,P(z)= R(z)E(z)该图的得到过程与图 7.6.
10、1 和图7.6.2的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可 集中到矩阵E (z)和R(z)的分析，或简单的P (z)的分析。若P (z)为单位阵，我们可以想 象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。至此，我们已讨论了 M通道滤波器组的两种表示形式，一是用(8.1.10)式的AC矩 阵表示的形式，二是用(822)式表示的多相形式。在深入讨论E (z)、R (z)的性能对整 个系统PR性能的影响之前，我们先讨论一下，AC矩阵H (z)和多相矩阵E (z)的关系。由(8.2.3)由(8.2.2)式，X(z)(a)X(z)(b)X ( z )v (n )u (n )x (z)图 8.2.1 M
11、通道滤波器组的多相结构； (a) 直接表示；(c)式对 h(z) 的定义及(8.1.10)式对 E(z) 的定义，我们有H T (z) = h (z), h (zW ),h (zW M j) H t (z)又可表为H t (z) = E (zM )e(z), E (zM )e(zW ),E (zM )e(zW M -1)=E(zM )e(z), e(zW ),e(zW M-1)(b)利用恒等变换后的表示；(c)进一步的简化表示1 11WW =1W M -11W M -1W ( M- 1 ) M-(D (z ) = diagl-1 z，-,吃-1 )H t (z ) = E Z M D z (W
12、)*H(z)= WH D(z )ET z(M )1)(8.2.9)(8.2.10)(8.2.11a)(8.2.11b)(8.2.11)式即是混迭分量矩阵H (z)和多相矩阵E (zM )的关系。8. 3混迭抵消和PR条件的多相表示我们在8.1节已指出，若A (z), A(z)全为零，则可实现混迭抵消。进一步，若T(z)1M - 1为全通函数，或T (z) = cz -k，则M通道滤波器组可以实现准确重建。现在我们讨论这些 条件的多相表示。定理&1 一个M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵P(z) = R(z)E(z)为伪循环矩阵。所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵P ( z )
13、P(z)P ( z)-P ( z )012M -1P ( z )P ( z)P (z)-P (z)M - 101M-2P( z )P (z)P ( z)-P (z)M - 2M -10M - 3P ( z )1P ( z)2P ( z)3-P ( z )0将其主对角线以下的元素都乘以z-1所得到的矩阵，即 P ( z)P(z)P ( z)-P( z )012M -1z-1P(z)P ( z)P (z)-P (z)M -101M-2z-1P(z)z-1P(z)P ( z)-P (z)M - 2M -10M - 3z-1P (z)1z-1P (z)2z-1P (z)3-P ( z )0该伪循环矩阵所对应的时域关系是：P (n)P (n)P (n)P (n)012M -1P (n - 1)P (n)P (n)P(n)M -101M - 2P (n - 1)P(n -1)P (n)P(n)M-2M -10M-3P (n - 1)1P (n -1)2P (n -1)3P (n)0现证明定理 8.1。由图8.2.1 (c),有
