三角恒等变换高考试题精选（二） 一．选择题（共15小题）1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）A． B． C．﹣ D．﹣3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（ ）A． B． C．1 D．4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）A． B． C． D．6．若tanα=2tan，则=（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=8．已知，则tan2α=（ ）A． B． C． D．9．已知，则等于（ ）A． B． C． D．10．已知sin2α=，则cos2（）=（ ）A．﹣ B． C．﹣ D．11．若，则cos2α+2sin2α=（ ）A． B．1 C． D．012．若，则=（ ）A．1 B． C． D．13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（ ）A． B． C． D．14．设，且，则（ ）A． B． C． D．15．已知，则=（ ）A． B． C． D． 二．填空题（共8小题）16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．18．已知，则= ．19．若，则= ．20．已知tanα=2，则= ．21．化简：﹣= ．22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α= ，tan2α= ．23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是 ． 三．解答题（共7小题）24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan=；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．28．已知 tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求 的值．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．30．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值． 三角恒等变换高考试题精选（二）参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题）1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A． 2．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D． 3．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（ ）A． B． C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A． 4．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D． 5．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A． 6．（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3． 7．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C． 8．（2013•浙江）已知，则tan2α=（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C 9．（2017•自贡模拟）已知，则等于（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴sin（α+）==，而 cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，故选：A． 10．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（ ）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D． 11．（2017•平罗县校级一模）若，则cos2α+2sin2α=（ ）A． B．1 C． D．0【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=2，所以cos2α+2sin2α====．故选A． 12．（2017•龙凤区校级模拟）若，则=（ ）A．1 B． C． D．【解答】解：，则===．故选：B． 13．（2017•潮州二模）已知sin（α）=，则cos（α+）=（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A． 14．（2017•龙凤区校级模拟）设，且，则（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴，∵，，∴，即，故选：B． 15．（2017•泸州模拟）已知，则=（ ）A． B． C． D．【解答】解：由，可得：cos（）=sin[﹣（）]=．那么：=cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．故选：B． 二．填空题（共8小题）16．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：． 17．（2017•新课标Ⅰ）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案为： 18．（2017•黄石港区校级模拟）已知，则= ．【解答】解：∵，∴==+==故答案为： 19．（2017•张家界一模）若，则= ．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：． 20．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则= 1 ．【解答】解：tanα=2，则===1．故答案为：1． 21．（2017•厦门一模）化简：﹣= 4 ．【解答】解：由﹣==．故答案为4． 22．（2017•永康市模拟）若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α= ﹣ ，tan2α= ﹣ ．【解答】解：∵sin（α+）=3sin（﹣α），∴sinα+cosα=3cosα，∴tanα=，则cos2α====﹣，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣；． 23．（2017•重庆模拟）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是 ．【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1解得：或，∵θ∈（0，π），∴，则==．故答案为：． 三．解答题（共7小题）24．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==． 25．（2017•嘉定区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2． cosB===． sinB===． ∴S△ABC=acsinB==． （II）cosA===．sinA===． sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣． ∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==． 解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2． 又c=4，可知△ABC为等腰三角形． 作BD⊥AC于D，则BD===． ∴S△ABC==．（II）cosB===． sinB===． 由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B． ∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B=2sinBcosB =2××=． 26．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：。