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1、 - JISHOUUNIVERSITY本科生毕业论文题 目：正定二次型的判断及应用作 者：徐 杨学 号：20084043041所属学院：数学与统计学院专业年级：2008级数学与应用数学指导教师：莫宏敏职 称：副教授完成时间：2012年5月14日吉首大学教务处制独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文题目： 正定二次型的判断及应用 作者签名： 日期： 年
2、 月 日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目： 正定二次型的判断及应用 学生签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日目 录1 引言11.1 什么是二次型11.2 二次型的研究历史22 正定二次型的判断33实二次型的正定性证明不等式94 实二次型的正定性在极值问题中的应用10参考文献11.正定二次型的判断及应用 徐
3、杨（吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000）摘 要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用.关键词：正定二次型；正定阵；顺序主子式 Judgement of positive definite quadratic form andits applicationsXu yangAbstract：In the quadratic form , the positive definite quadratic form has a special position . This paper has summarized so
4、me judgement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems .Key words: positive definite quadratic form; positive definite matrix ; principal minor determinant 1 引言1.1 什么是二次型定义1（实二次型） 设均为实常数，称关于n个实变量的二次齐次多项式函数为一个n元实二次型，简称为n元二
5、次型。令，则，再令矩阵，则A为实对称矩阵，且可将二次型写成或定义2（正定二次型）设有n元二次型（A为实对称矩阵），如果对任意n维非零向量x，都有，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵.1.2 二次型的研究历史 二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的.柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的
6、二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在算术研究中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.2 正定二次型的判断定理1 实二次型是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于.证明设实二次型经线性替换X=PY化为标准形 其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然. 如果是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有 若有某个比
7、方说则对这组不全为零的数代入式后得这与是正定二次型矛盾因此必有 .即的正惯性指数等于 .如果的正惯性指数等于则于是当不全为零即当不全为零时式成立从而是正定型 定理2 实二次型是正定二次型的充要条件是对任何维实的非零列向量必有证明：由假设是正定二次型故存在实的非退化的线性替换使 对因非奇异故于是由可知设的秩与正惯性指数分别为与先证如则由惯性定理存在非退化的线形替换使得 由假设对任何但对列向量 （因是非奇异阵,1是的第个分量）却有 这与假设矛盾.故.再证.如果则式应化为 于是取 由即得又与假设矛盾,故即是正定二次型.定理3 实二次型是正定二次型的充要条件是的规范形为.证明：实二次型是正定二次型则由
8、定理1可知的正惯性指数为n，则二次型可经过非退化实线形替换成 的规范形为则的正惯性指数为由定理1可知为正定二次型.定理4 实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵与单位矩阵合同.证明：实二次型是正定二次型则由定理3可知的规范形为.此即存在非退化线形替换其中可逆使得所以因此矩阵单位矩阵合同.矩阵单位矩阵合同则存在可逆矩阵使得，令则.因此由证明4可知是正定二次型.定理5 实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的主子式全大于零 .证明：实二次型是正定二次型,以表示的左上角阶矩阵,下证考虑以为矩阵的二次型 由于所以当不全为零时,由正定二次型可知从而为正定二次型,固对二次型的元数作数学归纳法当时因为所以正定假
9、设且对元实二次型结论成立.由于用乘的第1列到第列,再用乘第的第1行到第行经此合同变换后可变为以下的一个矩阵 因为矩阵与合同所以是一个阶对称矩阵从而也是对称矩阵上述的变换不改变的主子式的值因此的主子式也全大于零,而的阶主子式等于的阶主子式乘以并且于是的主子式全大于零由归纳假设,与合同所以与单位矩阵合同此即是正定二次型.定理6实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的顺序主子式全都大于零.证明：实二次型是正定二次型,则由定理5可知的主子式全大于零,所以的顺序主子式也全大于零.对二次型的元数作数学归纳法当时由条件知所以是正定的. 假设充分性的判断对于元的二次型已经成立,现在来证元的情形.令= 于是矩阵可
10、以分块写成：=则的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,是正定矩阵.则存在可逆的阶矩阵使得，令=于是.再令=，则有令 ，就有两边取行列式,则由条件因此.所以矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵即是正定二次型.定理7 实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是实可逆矩阵.证明：实二次型是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵使得.则令则若则 令，则所以为正定二次型.定理8 实二次型是正定二次型的充要条件是正定矩阵其中是实可逆矩阵.证明：实二次型是正定二次型,则是正定阵.令其中可逆)，则 又因非退化线性替换不改变正定性,则是正定二次型,所以是正定阵.是正定阵,令,则是正定二次型，令，则是正定二次型.定理9
11、 实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵A的全部特征值都是正的.证明实二次型是正定二次型,则是正定阵.又对于任意一个阶实对称矩阵都存在一个阶正交矩阵使得成为对角形.令=则，否则与为正定二次型相矛盾，则特征值为均大于零即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A的特征值也均为正. 的全部特征值均为正的则存在一个阶正交矩阵使得 = 其中为的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到令则 所以为正定二次型.定理10 实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵A是正定阵.证明：实二次型是正定二次型, 则由正定阵的定义可知是正定阵. 是正定阵,则的顺序主子式全都大于零.由定理6可知是正定二次型.3实二次型的正定性证明不等
12、式例1 设是一个阶实非退化矩阵求证.证明：若是正定矩阵,必有, 其中是的主对角线上的元素.因为是实非退化矩阵所以=是正定矩阵由上述定理得=此即. 4 实二次型的正定性在极值问题中的应用例2 求三元函数的极值.解：先求三个一阶偏导数令它们为0解方程组得驻点再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵由的正定性确定极值 得驻点. 所以=.因为为正定阵所以得极小值.参考文献1蔡永裕等.高等代数学习指导M.湘潭师院印刷厂，2000.2张禾瑞.高等代数M.高等教育出版社，1999.3廖军.分块矩阵求n阶行列式的值J.文山师范高等专科学校校报，2004年6月.4毛纲源.经济数学（线性代数）解题方法技巧归纳M.华中科技大学出版社，2006.5陈志杰.高等代数与解析几何M.高等教育出版社，施普林格出版社，2000.6王鄂芳.高等代数M.高等教育出版社，1988.7高哲敏等.高等代数分析与研究M.云南科技出版社，1998.8 陈志杰主编.高等代数与解析几何精解M.北京科学出版社，2002.9 西北工业大学高等数学教研室主编.高等数学专题分类指导M.上海同济大学出版社，2008.10 熊廷煌.高等代数简明教程M.湖北教育出版社，1987.
