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1、各向异性谐振子的能级简并 刘永宏 指导教师：焦志莲（太原师范学院物理系，太原030031）【摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题。【关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。0. 引 言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的量子力学导论就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理。所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深
2、对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。1. 各向异性谐振子的能级及波函数 1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在坐标系中可以表示为 （1）令 （2）求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为 （3） （4）其中，各维波函数为 （5） （6）1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数在三维空间中，三维谐振子的哈密顿量为 （7）令 （8）由三维谐振子体系哈密顿量的本征值方程，可以求出的体系哈密顿量的本征值及
3、相应的本征值函数为 (9) （10）其中，的具体表示与（5）、（6）式完全相同，方向的波函数为 (11)2 各向异性谐振子的能级简并一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。以下我们分别就二维、三维谐振子情况，对能级简并进行了讨论。21 二维各向异性谐振子的能级简并能级所对应的量子状态只有一个，即态，可以用（）表示这个能态。由（3）式可知，当满足一定关系时，能级有可能出现简并。设存在另一组态（），其能量与相等，即 （12）令，下面对各种情况进行讨论。211 为有理数的情形当为有理数时，可以表示为 （13）式中为不可约正整数，将（13）式代入 （12）式得 （14）由于（）的取值均可为0，1，2
4、，因此，要使（14）式成立有三种可能情形：（1），的情况 （15）即 ， （16）由于，可得，其中表示这个数的整数部分。于是（）有个可能的组态满足（12）式。（2），的情况 (17)即 ， （18）由于，可得，表示这个数的整数部分（下面的类似表示也代表同样的意义）。于是（）还有个可能的组态也满足（12）式。（3），的情况这种情况下只有一组能态，即能级所对应的量子状态只有一个，即态。综合上述三种情况，当为有理数时，（）的可能组态个数共有 +1。 （19）它们均满足（12）式和（14）式，它们的能量均为，所以此能级的简并度就是，由此可见，二维各向异性谐振子的能级简并与参量有关。212 为无理数的情
5、形当为无理数时，要使（12）式成立，必然要求：即由此还可以得到。这就说明，当为无理数时，不可能存在另一组态（），使其能量也为，即能量是非简并的。22 三维各向异性谐振子的能级简并三维各向异性谐振子能级，所对应的量子状态只有一个，即态，可以用（）表示这个能态。根据（9）式，当满足一定关系时，能级有可能出现简并，设存在另一组态（），其能量与相等，即 （20）即 （21）令，下面对各种情形下的能级简并进行讨论。221 的情况当时，（21）式简化为： （22）对于这种情形，体系能级简并度与二维谐振子能级简并讨论完全相同，在这里面就不再累述。但是，需要注意时，三维谐振子体系并非转化为二维谐振子，此时只是
6、三维谐振子体系哈密顿量转化为 （23）与二维各向异性谐振子哈密顿量（1）式比较，相差一项，即此时三维谐振子体系在轴方向只有动能部分，不存在势能作用。222 的情形当时，（21）式变为： （24）（1） 当（）-（）=0时， 得 这种情况下只有一组能态，即能级所对应的量子状态只有一个，即态。（2） 当（）-（） 0时，（24）化简为 （25）下面就的各种取值情形下的能级简并进行讨论。（一） 为有理数的情形当为有理数时，可以表示为 （26）式中为不可约正整数，将（26）式代入（25）式得： （27）由于（）的取值均可为0，1，2，因此，要使（27）式成立有两种可能的情形如下：（1） 的情形 在此情
7、况下，（27）式为 （28）由于，可得到 （29） （30）由（29）式可以得到 （31）由于，由（31）式得： （32）又由于，所以对于（30）式的讨论又有以下三种情况：（） ，情况令：，则由（30）式可得 （33）由于，可得：，即 （34）所以由（32）与（34）式联立得：，于是（）有个可能的组态满足（28）式。（），情况令：，则由（30）式可得 （35）由于 本身大于零。所以可取任意正整数，由（32）式可知（）有个可能的组态满足（28）式。（），情况令：，则由（30）式可得 （36）由于，可得：，即 （37）又由，得：，即 （38）所以的取值为从到的正整数，于是（）同时还有个可能的组态满
8、足（28）式。综合上面三种情况，当为有理数且时，（）的可能组态数共个。（2）当的情形当，由 （39）从上式可以得到 （40） （41）由（40）式可知，可取任意正整数，但此时对（41）式也同样有以下三种情况讨论。 （），情况令：，由（41）式得到 （42）由， 得到 （43）又由 ，得到 （44）所以，由（43），（44）得的取值为从到的正整数，于是（）有个可能的组态满足（39）式。（） ，情况令：，由（41）式得到 （45）因此， 得到 （46）所以取值为，于是（）也有个可能的组态满足（39）式。（），情况令：，由（41）式得到 （47）因此得到 （48）由（47）式可知，可得 （49）所以
9、，取值为的正整数，于是（）在这种情况下有个可能的组态满足（39）式。综合上面三种情况，当为有理数且时，（）的可能组态个数有： 。（二） 为无理数的情形当为无理数时，要使（24）式成立，必然要求：，。即： =0 （50）所以，在这种情况下三维各向异性谐振子的能级简并情况讨论，同二维各向异性谐振子的能级简并相同。即为无理数时，当为有理数时，可能的简并度为 +1；当 为无理数时，此时能级是非简并的。 3 各向异性谐振子的能级简并运动学特征3.1 二维各向异性谐振子运动学特征由经典动力学考虑，求解其经典动力学方程可得 ， ， （51） ， ， （52）式中，由以上两式消去可得二维各向异性谐振子的运动轨
10、迹，显然它是两个互相垂直且频率不同的简谐振动合成的结果，一般情况下其轨迹是一条既不封闭，也不稳定的曲线。当且仅当为有理数时，这两个简谐振动的合成才呈现出周期性。即，为不可约正整数，则周数为 （53）在一个周期中，方向的简谐振动来回振荡次，而方向的简谐振动来回振荡次。这时，二维各向异性谐振子的运动轨迹是一条稳定的封闭曲线，即利萨如图。由此可见，为有理数反映在运动学上，为二维各向异性谐振子的周期性，同时也反映了二维各向异性谐振子的某种对称性，这是这种对称性导致了它的能级简并。3.2 三维各向异性谐振子运动学特征同3.1描述相同，在轴方向经典动力学方程同（51）、（52）式，轴方向有 ， ， （54） 其中。由（51）、（52）、(54)式
