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1、优选文档第四章整环里的唯一分解归纳：本章主要谈论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积.在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理可否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的看法实行到一般的整环中.本章中的环I均表示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为II0.第一节素元、唯一分解基本看法：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个看法，单位元必然是单位，
2、而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群,称为I的单位群，记为U(I).定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，若是在I里找得出元c，使得a=bc.若是a能被b整除，我们说b是a的因子，而且用符号b|a来表示，否则用ba来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，若是b=a其,中是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，若是p既不是零元，也不是单位，而且p只有平凡因子.-1定理4.1.1：两个单位和的乘积也是一个单位，单位的逆也是一个单位.
3、定理4.1.2：单位同素元p的乘积p也是一个素元.(2) 证明：(1)0,p0p0;p不是单位.121若否则，I使得1(p)()pp是单位与p是素元矛盾.p只有平凡因子.定理4.1.3：整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：bc，b,c都不是单位元.证明：()a有真因子bU(I)使得ba且b不是a的相伴元.cI使得abc.若cU(I),则a与b是相伴关系，故cU(I).()假设abc，b,cU(I)b不是a的相伴元，否则babcc1cU(I),矛盾.故a有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，若是以下条件能被满足：(1)ap1pr,其中pi(i1
4、,r)是I中的素元;若又有aq1qs,其中qj(j1,s)是I中的素元，那么rs且piiqi,i1,r,其中i1,ir是1,n的一个排列.j例：设Z3ab3a,bZ,则Z3是整环.(2)U(Z3)1,1设ab3U(Z3),则Z3使得1.则12(a23b2)2a23b21a1,b01.(3)Z3,若24，则为素元.13都不是2的相伴元.(5)422(13)(13)是4在Z3中两种不同样的分解.作业：1设I恰巧包含所有复数abi(a,b是整数)的整环.证明5不是I的素元.5有没有唯一分解？第二节唯一分解环2基本看法：唯一分解环，唯一分解环的性质.公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点:
5、唯一分解环.正文定义4.2.1：整环I叫做一个唯一分解环(UFD),若是I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：若一个素元pab,那么pa或pb.证明：当a,b中有一个是零或是单位时，定理显真.现设a,b皆非零元，也非单位.pababpc,c0,c也非单位.(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾)于是cp1p2pn,诸pi皆素元.又令aq1q2qr,bq1q2qs,诸qj,qk皆素元.于是q1q2qrq1q2qspp1p2pn.由分解唯一性知p是某个qi或qj的相伴元,如q1p则pb.p,则pa；如q1推论：在一个UFD中
6、，若素元pa1a2an,则p必整除某一个ai.定理4.2.2：若整环I满足：IU(I)中每一个元均有一个分解式；(2)若p是I的素元,则必有pabpa或pb,a,bI.那么I必然是唯一分解环.定义4.2.2：假设d,a1,anI,若是dai,i1,n,则称d为a1,an的一个公因子；假设d为a1,an的一个公因子,若a1,an的每一个公因子都能整除d，则称d为a1,an的一个最大公因子.定义4.2.3：假设a1,anI,若是a1,an在I中的最大公因子是单位，则称a1,an互素.定理4.2.3：假设I是唯一分解环,a,bI,那么有3在I中,a和b有最大公因子；(2)若d,d均为a和b的最大公因
7、子，则d,d是相伴关系.作业：1.假设I是一个整环,(a)和(b)是I的两个主理想证.明：(a)(b)当且仅当b是a的相伴元的时候.证明：Z10不是唯一分解环.第三节主理想环基本看法：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系.重点、难点:主理想、极大理想.正文定义4.3.1：若是整环I中的每一个理想都是主理想，则称I是一个主理想环，记为P.I.D.例1：整数环(Z,0,1)是主理想环.（0）A是Z的理想，记A中的最小正整数为a,则(a)A.证明：设另一方面，若mA,m(a),则am,设mase,0ra,则rmasA此与a的最小性矛盾，故A(a).从而A(a).例2：F是域，则(F
8、x,0,1)是主理想环.证明：设（0）A是Fx的理想，记A中次数最低的多项式为f(x),则(f(x)A.另一方面，若g(x)A,g(x)(f(x),则f(x)g(x),设g(x)f(x)u(x)v(x),(v(x)(f(x)而v(x)A此与f(x)次数最小矛盾.故A(f(x),从而A(f(x).引理4.3.1：设(I,0,1)是一个PID,则I中的每一个真因子序列必然是有限序列.即若序列a1,a2,(aiI)中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列必然是有限序列.证明：由于ai1ai，所以(a1)(a2)令A(ai)，则A是I的一个理想.事实上：rI,ra(ai)A.ia,bAi,j(不如设
9、ij)使得a(ai),b(aj)a(ai)(aj)4ab(aj)A.而I是PID，则存在dI,使得A(d).而dA(ai)，i则n使得d(an)，我们断言，an为序列中的最后一个，如若否则，设还有一个an1使得an1为an的真因子.由于d(an),an1(d)and,dan1anan1又an1an，则an是an1相伴关系，这与an1为an的真因子矛盾.故原结论成立.引理4.3.2：设(I,0,1)是一个PID,p是I中的素元，则(p)为I的极大理想.证明：设A(a)是I的理想，(p)(A)Ip(a)ap.是的相伴元(a)p()p矛盾.appaa是单位1A()=I.a故(p)为I的极大理想.定理
10、4.3.1：设(I,0,1)是一个PID,则I是UFD.证明：(1)aIU(I),a必然有分解式事.实上，若a是素元，则不用再证.现设a有真因子，abc若b,c皆素元，则不用再证.对a的不是素元的真因子重复上面的谈论过程，这样的分解过程经有限步后必停止（否则会获取无量序列a,a1,a2,L后边的元是前面一个元的真因子，这与I是PID的前提矛盾）,此时已把a分解成有限个素元之积.(2)设素元pab,于是在I中有但I是域.所以pab0abpa0或b0ap或bppa或pb.由定理4.2.2知I是UFD.注：定理的逆不成立.比方x是UFD但不是PID.作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素
11、元所生成的.5第四节欧氏环基本看法：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点:欧氏环.正文定义4.4.1：设I是整环，若存在照射:InZ:n0Z.(2)a,bI,a0,则存在q,rI使bqar,其中r0或(r)(a).则称I是一个欧氏环(E.D.).例1整环(Z,0,1)是一个欧氏环.证明：令:ZZ;aaa,aZ.则是一个照射,且a,bZ,必然存在q,rZ使得baqr,r0或(r)ra(a).故(Z,0,1)是一个欧氏环.例2数域F上的多项式环(Fx,0,1)是一个欧氏环.例3Gauss整数环(Zi,0,1)是欧氏环.证明：易证(Zi,0,1)是整环.令:Zi0Z;abiaa2b2，则是一个照射.设abiZi0,cdiZi，kli,k,lZ，则存在k,lZ使得kk1,ll1.226令kliZi,，则.2若0,则（）（）（）(kk2ll21)()().2所以(Zi,0,1)是欧氏环.定理4.4.1：任何一个欧氏环必然是一个主理想环，所以必然是一个唯一分解环.证明：设A0是欧氏环I的一个理想,是欧氏环的照射.令aA使（a）=min(x)x(0)A，则A(a).事实上,bA,q,rI使得bqar,r0或（r）(a),rA.若r0则与（a）的最小性矛盾.故r=0,b=
