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2、科数学试题一选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【2014年陕西卷(理01)】已知集合,则( ） 【答案】 B【解析】【2014年陕西卷（理02）】函数的最小正周期是（ ） 【答案】 B【解析】【2014年陕西卷（理03）】定积分的值为（ ） 【答案】 C【解析】【2014年陕西卷（理04）】根据右边框图，对大于2的整数，输出数列的通项公式是（ ） 【答案】 C【解析】【2014年陕西卷(理05）】已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ） 【答案】 D【解析】【2014年陕西卷（理06)】
3、从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】 C【解析】【2014年陕西卷（理07)】下列函数中，满足“的单调递增函数是（ ）(A) （B） （C)（D）【答案】 D【解析】【2014年陕西卷（理08）】原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假【答案】 B【解析】【2014年陕西卷(理09）】设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（ ）（A） （B） （C) （D）【答
4、案】 A【解析】【2014年陕西卷(理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为( ） （A） （B)（C） （D)【答案】 A【解析】第二部分（共100分）二、 填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。【2014年陕西卷(理11）】已知则=_.【答案】 【解析】【2014年陕西卷（理12）】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_.【答案】 【解析】【2014年陕西卷（理13）】设，向量，若,则_.【答案】 【解析】 【2014年陕西
5、卷(理14）】观察分析下表中的数据: 多面体 面数() 顶点数(） 棱数（） 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.【答案】 【解析】【2014年陕西卷(理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)（不等式选做题)设,且，则的最小值为 （几何证明选做题）如图,中，以为直径的半圆分别交于点，若，则 (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点到直线的距离是 【答案】 A B 3 C 1【解析】ABC三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分）【2014年陕西卷(理1
6、6）】 （本小题满分12分） 的内角所对的边分别为.（I）若成等差数列，证明：；（II）若成等比数列，求的最小值。 （1） a、b、c成等数列， a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB。 sinB=sin-(A+C)=sin（A+C）=sin(A+C) sinA+sinC=2sin（A+C）.（II) a,b,c成等比例， b2=2c. 由余弦定理得 cosB=, 当且仅当a=c时等号成立。 cosB的最小值为。【2014年陕西卷（理17）】(本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（I)证明：四边形是矩形;（II）求直线
7、与平面夹角的正弦值。解 （I)由该四面体的三视图可知，BDDC， BDAD , ADDC，BD=DC=2，AD = 1.由题设，BC/平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH, BC/ FG, BC/EH, FG/EH.同理EF/AD，HG/AD， EF/HG，四边形EFGH是平行四边形。又 ADDC , ADBD， AD平面BDC，ADBC， EFFG，四边形EFGH是矩形.（II）解法一 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0，0）,A（0,0，1)，B（2，0,0）,C（0，2,0）, DA =(0,0，1）, BC =(2,2，0), BA
8、 =(-2 ， 0, 1）。 设平面EFGH的法向量n=（x ， y ， z）, EF/AD,FG/BC, n DA =0， n BC =0,得取n=（1，1，0).sin=解法二 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A（0,0,1）,B（2，0,0），C (0，2,0）.E,F(1，0，0)，G(0,1，0)。 设平面EFGH的法向量n=（x，y，z），则 得取n=（1，1,0），【2014年陕西卷（理18）】（本小题满分12分） 在直角坐标系中，已知点,点在三边围成的 区域（含边界）上 （1）若，求； (2）设，用表示，并求的最大值.【答案】 解（I)解法一 又 =
9、（63x,6-3y）, 解得x=2，y=2， 即 解法二 则 （II) (x，y)=（m+2n，2m+n), 两式相减得，mn=y-x,令yx=t，由图知,当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1,故m-n的最大值为1。 【2014年陕西卷（理19)】(本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响,其具体情况如下表：作物市场价格（元/kg）610概率0。40。6作物产量（kg）300500概率0。50。5 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列； （2）若在这块地上连续3季种植此作物,求这
10、3季中至少有2季的利润不少于2000元 的概率。 解（I）设A表示事件“作物产量为300kg，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A）=0。5，P(B）=0。4 利润=产量市场价格 成本， X所有可能地取值为 500 X 10 1000 = 4000,500 X 6 1000 = 2000。 300 X 10 - 1000 = 2000， 300 X 6 - 1000=800. P（X = 4000） =P = (1 - 0。5) X （1 - 0.4） = 0。3。 P（X = 2000） =P + P = （1 0.5) X 0.4 X 0。5 X (1 - 0.4) =
11、0.5. P（X = 800） =P = 0.5 X 0。4 = 0.2。 所以X 的分布列为 （II）设C1，C2 ,C3相互独立，由(I）知， P（G)= P(X = 4000） + P(X = 2000) = 0.3+0.5 = 0。8 （= 1，2，3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为 P（）+P（)+P（）=3X0。82X0.2=0。384, 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为 0.512+0。384=0。896.【2014年陕西卷（理20)】（本小题满分13分)如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2）
12、过点的直线与分别交于（均异于点），若,求直线的方程.解 （I）在C1,C2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A（ 1 ,0），B（1，0)是上班椭圆C1的左右顶点.设C1 的半焦距为C,由得a=2. a=2，b=1。（II）解法一 由（I）知，上半椭圆C1 方程为易知，直线与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=代入C1的方程，整理得 (*）设点p的坐标为(xp,yp）, 直线过点B， x=1是方程(）的一个根 。由求根公式，得 xp= 点P的坐标为（）.同理，由得点的的坐标为( k - 1, k2 - 2k ）. AP, 。经检验，符合题意，故直线的方程为解法二 若设直线的方程为,比照解法一部分.【2014年陕西卷(理21)】(本小题满分14分）设函数，其中是的导函数。（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立,求实数的取值范围；（3)设,比较与的大小，并加以证明. 解 由题设得，g（x) = （I）由已知,g1（x）= 下面用数学归纳证明. 当n= 1时，g1（x）=，结论成立。 假设n=k时结论成立，即gk（x）=. 那么,当n=k+1时。 即结论
