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1、相似形中开放探索性问题的探究国际数学委员会指出“探索与发展是数学发展 的生命线”，足见探索性的重要性.由于探索性试题的题设和结论不完整，或缺少条件、结论，或需判断符合某个条件的点、图形是否存在，需要解题者在观察、分析、搜集大量信息的基础上，进行抽象、概括、判断和猜测，然后进行说理和论证.本文以相似三角形中的问题进行研究，举例如下：一、探索条件型这类问题一般命题的结论明确，需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件，并辅助于图形结构、隐含的条件进行分析探究，方可得到所需的条件.例1、（08盐城）如图1，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可
2、）时，图1分析：根据两个三角形相似的条件结合图形发现ADE与ACB有一个公共角A，所以我们只要补充一个角，或夹这个角的两边对应成比例即可说明ADEACB.因为DE与BC不平行因而可补充条件ADE=C或AED=B或ADAB=AEAC图2例2、如图2，在直角坐标系中有两点A(4，O)，B(0,2)，如果点C在x轴上(C与 A不重合)，当点C的坐标为_或_时，使得由点B,O，C组成的三角形与AOB相似。 (至少找出两个满足条件的点的坐标) 分析：由于题目中两个三角形的相似，未给出确定的相似关系，因此有两种可能BOCAOB或COBAOB，这样可得出两个不同的关于边的比例关系，即或，结合OA=4,OB=
3、2可求出OC=1，或4；又点C在x轴上(C与 A不重合)，因而点C的坐标为 (一1，O)、(1，O)、(一4,0)、(4，O).二、探索结论型这类问题有明确的已知条件，需结合图形猜测出相应的结论，或变换命题中的部分条件探究对结论的影响.213MHGFED4例3（08年烟台市）如图，在RtABC内有边长分别为的三个正方形，猜想之间的关系并说明理.猜想之间的关系为.分析：观察图形，EFG=C=901+CFG=CFG +3=90易得出1=3，同理根据等角的余角相等容3=4，1=4RtDEFRtGHM =，化简得b(a+c)=b2,而b0，所以. 例4、如图4（1），ABBD，CDBD垂足分别为B,D
4、，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F我们可以说明成立.图4（1） 若将图2(1)中的垂直改为斜交，图2(2)，AB/CD，AD、BC相交于点E，过E作EF/AB交BD于F，则：(1) 还成立吗? 请说明理由。 (2)请找出SABD,SBED和SBDC间的关系式，并给出说理. 分析：(1)本题应通过阅读、理解探寻出证明结论在垂直条件下成立的方法利用相似三角形的性质定理，实质上是运用的平行关系。因而由垂直改为平行 （AB/CD/EF）斜交时，结论成立是当然的 (2)观察三个三角形它们有共同的底边(BD)，欲探究它们面积关系只需寻找它们的高之间关系。为此分别过A、E、C作AMBD，ENBD，C
5、KBD垂足为M、N、K.图3（2）易证AMBENFCKD，所以， 所以+=+=1，两边同乘以，便可得出+=.三、 探索规律型命题的形式常常是给出几个具体的数、式或图形，根据已有的知识经验探究其中的隐含变化规律，从而猜想出一般的结论.解决此类问题一般从特殊情况、或最简单情况入手，进行研究.例5.（山东潍坊市中考）在RtABC中， 么C=90，AC=4，BC=3 (1)如图3四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长 (2)如图3三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC求正方形的边长。 (3)如图3三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的
6、边长。 (4)如图3，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，请写出正方形的边长思路分析：(1)在图3中作ABC的高CN，交GF于M，交AB于N，设正方形的边长为x，则有，即，解之得 (2)在3中作ABC的高CN，交GF于M，交AB于N，设正方形的边长为x，则有，即，解之得 (3)与(1)，(2)同理设每个正方形的边长为x，可求得X=图3 (4)观察、分析(1)(2)(3)中得出每个正方形的边长，适当变形为，不难发现其中隐含的规律：分子均为60，分母为25加上12的正整数倍，依据上述特点，容易猜想出三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC时，正方形的边
7、长为.图3图3图3四、 探索存在型探索存在型的问题是指在一定条件下（或给定的图形中）判断某种数学对象（点、图形）是否存在的命题.解答此类问题的一般思路：先对结论作出肯定存在的假设，然后有肯定假设出发结合已知条件或图形种隐含条件，辅助于方程思想、数形结合思想等思维方法进行计算推理，若无矛盾，则存在，否则不存在.例4(长沙市)如图4，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3 cm， BC=7 cm，B=60,P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP过P点作PE交DC于E，使得APE=B，图4 (1)求证：ABPPCE (2)求等腰梯形的腰AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：
8、EC=5：3? 如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由 思路点拨 (1)由APC为ABP的外角得APC=B+BAP 又因为B=APE 所以EPC=BAP又因为B=C，所以ABPPCE (2)如图4，过A作AFBC于F，由已知易求得BF=2 RtABF中，作斜边AB上的中线FG，因为B=60，易知FGB 为等边三角形，又BF=2，所以AB=4 (3)存在这样的点P，理由如下：由DE：EC=5：3 DE+EC=DC=4得EC= 设BP=x,则PC=7-x由ABPPCE可得，即，解之得x1=1,x2=6, 经检验，都符合题意.所以BP=1 cm或BP=6 cm.五、探索开放性的作图问题例5(上
9、海市)如图5（1），44的正方形方格中，ABC的顶点A，B，C在单位正方形的顶点上请在图中画一个A1B1C1，使A1B1C1ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上。图5（2）图5（1）思路点拨 观察网格中ABC可以发现ABC=135,可求出ABC的边BC、BA的长分别为2，根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求出A1B1C1两边A1B1、 B1C1的长，且使A1B1C1=135画出A1B1C1，即为满足条件的三角形. 由网格可求出ABC的边长AB=，BC=2，若设相似比为或；可求得A1B1=1， B1C1=或A1B1=2， B1C1=2 ， 所以可以构造
10、出不同的符合条件的三角形见图5（2）.点评： 当相似比确定后，A1B1C1的形状就确定了，但A1B1C1可以有多个不同的位置而设定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形因而本题具有较强的探索性与开放性.分类讨论相似三角形河北 欧阳庆红 分类讨论的思考方法广泛地存在于相似三角形中，相似三角形中有些问题由于题设笼统，要进行讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论，分类讨论一般根据其数量差异与位置差异进行分类，分类要作到不重又不漏.ABCP图1例1 如图1所示,在不等边三角形ABC中,P是AB上一点,过P点作一直线,使截得的三角形与三角形ABC相似,则满足条件的直线一共有多少条?请画出图形
11、.分析:可用构造法,利用“如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似”，故过点P分别作BC，AC的平行线，或过P作与C相等的角，从而得到相似三角形.解：满足条件的直线共有四条，如图2所示.ABCP（1）QABCP（2）QABCP（3）QABCP（4）Q图2例2 如图3所示,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，求AP的长。分析：在未明确指明相似三角形的对应顶点,要结合问题全面考虑,有时会出现多种情形
12、.从题意的理解可知，以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似存在两种情形：PADPBC或PADCBP.下面通过对应边的比相等的关系来求解.ABCDP图3解:设AP=,则PB=7-.若PADPBC,则.即,得,符合条件.若PADCBP, 则,即,得符合条件.所以AP的长是或1或6.例2 要做两个形状相同的三角形框架,其中一个框架的三边长分别是4,5,6,另一个框架的一边长为2,怎样选料可使这个三角形相似?下面是四名同学对上题的解答,你认为谁的解答是正确的呢?说明你的理由.甲生:解:设另一个三角形的两边长分别为,则有,解得即另一框架的两边应选取2.5、3.乙生: 解:设另一个三角
13、形的两边长分别为,则有,解得即另一框架的两边应选取1.6、2.4.丙生:解:设另一个三角形的两边长分别为,则有,解得即另一框架的两边应选取丁生: 解:设另一个三角形的两边长分别为,则有(1),(2) ,(3) 三种情况.解得(1) (2) (3) 分析: 遇到题目关系不明确,即没有规定哪一边与哪一边对应时,要考虑各种可能情况,学会分类讨论.甲、乙、丙三位同学只考虑了一种情况,边长为2的边与边长为4,5,6的三边的每一边都可以构成对应边,所以要分三种情况考虑,故甲、乙、丙三位同学的解答不全面,因而不正确,丁同学的解答正确.解:丁同学的解答是正确的.相似三角形探索题求解策略山西 马志君纵观近几年的
14、中考题，已不再是单纯的考查某部分知识的识别和性质了，而且有了新的尝试和跨越，出现了许多特色题，探究型就是其中的一种，下面例谈解答探究型试题的策略。 一、条件探究型例1 如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG、BH，请探究：当点E运动到AD的何位置时，BEHBAE？分析：这是一道条件探究型试题，解条件探究型题一般需要从结论入手，运用所学知识，通过观察、联想、分析等思维活动，寻求结论成立的条件。解：当E点是AD的中点时，BEHBAE，理由如下：ABGFHDEC）（123图1正方形ABCD和正方形BEFGA=D=FEB=90，1+2=90，2+3=901=3，又A=DABEDEH=，E是AD的中点，AE=，DE=DH=又ABEDEH=，又=BEHBAE。二、结论探究型例2 （2005年武汉市）如图3，已知ABC中，
