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1、第二章 内插与拟合 本章内容包括线性插值、抛物线插值、埃尔米特插值、多项式插值，样条插值。第一节 拉格朗日插值 一、插值法的定义 设函数y=f（x）在区间a, b上有定义，且已知在点ax0x1xn b上的值y1,y2, ,yn,如存在一简单函数p(x),使 p(xi)=yi (i=0,1,n) (23) 成立，就称p(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，xn称为插值节点，包含插值节点的区间a, b称为插值区间，求插值函数p(x)的方法称为插值法。如p(x)是次数不超过n次的代数多项式，即 p(x)=a0+a1x+anxn (24)其中ai为实数，就称p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多
2、项式插值；如p(x) 为分段多项式，就是分段插值。二、插值多项式的存在唯一性设p(x)是形如（24）的插值多项式，用Hn代表所有次数不超过n次的多项式集合，于是p(x) Hn 。所谓插值多项式p(x)存在唯一，就是指在集合Hn中有且只有一个p(x)满足（23），由（23）可得：三、线性插值假定已知区间xk, xk+1 的端点处的函数值yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式L1(x),使它满足 L1(xk)=yk L1(xk+1)=yk+1则L1(x)的表达式可按下式给出：四、抛物插值假定已知插值节点xk-1, xk, xk+1,要求二次插值多项式L2(x),使它满足
3、L2(xj)=yj （j=k-1,k,k+1)为求出L2(x)的表达式，可采用基函数方法，此时基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x)是二次函数，且在节点上满足条件五、拉格朗日插值多项式六、插值余项若在a, b上用Ln(x)近似f(x),则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x), 也称为插值多项式的余项。余项的计算式为：例1已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。第二节 逐次线性插值x0x1x2x3x4f(x0)=I0f(x1)=I1f(x2)=I
4、2f(x3)=I3f(x4)=I4I0,1I0,2 , I0,1,2I0,3 , I0,1,3 , I0,1,2,3I0,4 , I0,1,4 , I0,1,2,4 , I0,1,2,3,4x-x0x-x1x-x2x-x3x-x4第三节 均差与牛顿插值公式一、均差及其性质 由直线方程点斜式出发，推广到具有n+1个插值点（x0,f0），(xn,fn) 的情况，我们可把插值多项式表示为： 1、均差定义：2、均差的性质3、均差的计算xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差X0X1X2X3X4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)fx0,x1fx1,x2fx2,x3fx3,x4fx0
5、,x1,x2fx1,x2,x3fx2,x3,x4fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3,x4fx0,x1,x2,x3,x44、牛顿插值公式根据均差定义，把x看成a,b上一点，可得：例3、给出f(x)的函数表如下，求4次牛顿插值多项式并由此计算f（0.596）的近似值。第四节 差分与等距节点插值公式1、差分的定义2、差分及其性质 性质1、各阶差分均可用函数值表示。性质2、可用各阶差分表示函数值。性质3、均差与差分有以下关系：3、差分计算差分计算可列差分表（下表为向前差分表） Xk 2 3 4 f0 f0 2f0 3f0 4f0 f1 f1 2f1 3f1 f2 f2 2f2 f3 f3 f4
6、 4、等距节点插值公式（1）、前插公式（2）、后插公式第五节 埃尔米特插值公式如果要求插值函数不仅在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。第六节 三次样条插值公式一、三次样条函数1、定义: 若函数s(x)C2a,b,且在每个小区间xj,xj+1上是三次多项式，其中a=x0x1xn=b是给定节点，则称s(x)是节点x0，x1，xn上的三次样条函数。若在节点xj上给定函数值Yj=f(xj)(j=0,1, ,n),并成立 s(xj)=yj (j=0,1, n) (59)则称s(x)为三次样条插值函数。 从定义知要求出s(
7、x)，在每个小区间xj,xj+1要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数，根据s(x)在a,b上二阶导数连续，在节点处应满足连续性条件： s(xj-0)= s(xj+0) s(xj-0)= s(xj+0) s(xj-0)= s(xj+0) (60)共有3n-3个条件，再加上s(x)满足插值条件（59），共有4n-2个条件，因此还需要两个条件才能确定s(x)2、边界条件通常可在区间a,b端点a=x0,b=xn上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给出，常见的有三种：（1）已知两端的一阶导数值，即 s (x0)=f 0 , s (xn)=f n (61) （2）已知 两
8、端的二阶导数值，即 s(x0)= f 0 ， s(xn)= fn (62)（3）当f(x)是以小xn-x0为周期的周期函数时，则要求s(x)也为周期函数，这时边界条件应满足： s(x0+0)= s(xn-0) s(x0+0)= s(xn-0) (63) s(x0+0)= s(xn-0)二、三转角方程下面构造s(x)的表达式。若假定s(x) 在节点xj处的值为s(xj)=mj(j=0,1n),根据（59）式，由分段三次埃尔米特插值公式，可得 s(x)=yjj(x)+mjj(x) (64) 其中j(x)，j(x）是插值基函数。其表达式为(64)式的mj是未知的，它可利用边界条件来确定，为求出mj，我们考虑s(x)在xj,xj+1上的表达式计算步骤：二、三弯距方程三次样条插值函数S(x)可以有多种表达方法，有时用二阶导数值S(xj)=mj(j=0,1, ,n)表示使用更方便。mj在力学上解释为细梁在xj截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。5
