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1、I浅谈数学归纳法的应用摘 要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后
2、我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法。关键词：归纳法，数学归纳法，证明the Application of Mathematical InductionABSTRACT Mathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics st
3、udy and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. Mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set math
4、ematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method
5、 in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesi
6、s, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. Finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering induction - guess - proof the discovery of thinking method.KEY WORDS: induction meth
7、od, mathematical induction, proof目 录1 绪论11.1 引言11.2 数学归纳法的来源12 数学归纳法的概述32.1 常用数学证明方法32.1.1 演绎法32.1.2 归纳法32.2 数学归纳法基本原理及其其它形式32.2.1 数学归纳法概念32.2.2 数学归纳法的基本原理42.2.3 数学归纳法的其它形式53 数学归纳法的步骤63.1 数学归纳法的步骤63.2 三个步骤缺一不可74 数学归纳法的典型应用94.1证明恒等式942 证明不等式1043 证明整除问题134.4 证明几何问题134.5 行列式与矩阵的证明145运用数学归纳法时容易出现的错误分析17
8、5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性175.3 在第二步证明中没有利用归纳假设186 应用数学归纳法时的一些技巧196.1 灵活选取“起点”196.2 恰当选取“跨度”206.3 选取合适的假设方式206.3.1 以“假设时成立”代替“假设时成立”206.3.2 以“假设，时成立”代替“假设时成立”217 数学归纳法的地位和作用23致 谢24参考文献25I浅谈数学归纳法的应用1 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“时命题成立，那么时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要且独特的证
9、明方法,对与自然数有关的命题证明是可行有效的，它使学生了解一种“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢，真仅是纯粹的假设,一旦不真,用它去推真，岂不是“无稽之谈”，即使推出真能保证真吗？如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯
10、定是正确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。1.1 引言 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。论证的第一步是证明命题在(或)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在时命题成立，再证明时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成
11、了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，在数学教学中常用在证明下列命题：与自然数有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数、矩阵等等。1.2 数学归纳法的来源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨他确信无疑地得出：毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推。尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠
12、定了一定的基础。 而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史数学史通论（第二版）中，J.Z.Katz教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（Levi ben Gerson,1288-1344）在其1321年出版的代表作计算技术中也已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理2。但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494- 1575），真正明确数学归纳法证明两步的应该还是17世纪的数学家帕斯卡( B. Pascal, 1623
13、1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。“数学归纳法”名称则是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用而推广4。III浅谈数学归纳法的应用2 数学归纳法的概述2.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：2.1.1 演绎法 演绎法是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。演绎法的特点是它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎法是一种必然的推理，它是一种严格的逻辑证明方法。2.1.2 归纳法 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理。
14、根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法2。不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要。不完全归纳法又可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。枚举归纳法是以某个对象的多次重复作为判断根据的归纳方法；因果归纳
15、法归纳法是把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而做出一般性猜想的方法2。完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。2.2 数学归纳法基本原理及其其它形式2.2.1 数学归纳法概念数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。2.2.2 数学归纳法的基本原理 在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数,后来数,有必有，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：(1)是自然数(2)每一个确定的自然数,都有一个确定的随从，也是自然数(3)非随从，即(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由一定能推得(5)任意一个自然数的集合，如果包含，并且假设包含，也一定包含的随从,那么这个集合包含所
