《椭圆周长和面积计算公式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆周长和面积计算公式.doc(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、一、椭圆周长、面积计算公式根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且ab0。椭圆周长公式:L=2b+4(a-b)椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。椭圆面积公式: S=ab椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率()乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程(一)发现椭圆常数常数在于探索和发现。椭圆三要素:焦距的一半(c),长半轴的长(a)和短半轴的长(b)。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。椭圆的周长
2、取值范围:4aL2a (1)椭圆周长猜想:L=(2a-4a)T (2)T是猜想的椭圆周率。将(1)等式与(2)等式合并,得:4a(2a-4a)T2a (3)根据不等式基本性质,将不等式(3)同除(2a-4a),有:4a/(2a-4a) T2a /(2a-4a) (4)简化表达式(4):2/(-2)T/(-2) 定义:K1=2/(-2);K2=/(-2) 计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数:K11.75193839388411 K22.75193839388411椭圆第二常数:K2=K1+1椭圆常数的发现过程描述简单,得来却要复杂得多。(二)椭圆周长公式推导长期以来我们只用椭圆
3、离心率e=c/a来描述椭圆,却忽视了椭圆a与b的关系。定义:椭圆向心率为f,f=b/a 。根据椭圆第一定义,椭圆向心率f,有0f1的范围。K1+fK2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。定义:T=K1+f,将此等式代入等式(2)则有:L=(2a-4a)T=2(-2)a(K1+f) =2(-2)a(2/(-2)+b/a)=2b+4(a-b) 椭圆周长计算公式: L=2b+4(a-b) (三)椭圆面积公式推导椭圆面积的取值范围:0Sa2 (5)(由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。如:上式中a2为乘a的二次方。)椭圆面积猜想:S=a2T (6)T是猜想的椭圆面积率。将(
4、5)等式与(6)等式合并,得:0a2Ta2 (7)根据不等式基本性质,将不等式(7)同除a2,则有:0Tb0)。定义3:T=K1+f,T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义:T=k1+f没有依据”,现就此问题作出如下分析说明。(一)在椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导中,有“T是猜想的椭圆周率”,并“定义:T=K1+f”(椭圆定理中也有此定义,见上)。椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导中还有表达式:2/(-2)T/(-2)。定义:K1=2/(-2);K2=/(-2)。这样定义理当无可非议。那么,K1TK2,因为k2=k11,也可以说T是k1到k1+1之间的数,数学表达式为:
5、k1Tk1+1。对于具体椭圆而言k1Tk1+f,f为椭圆向心率,f=b/a,0fb0)(参见椭圆定理)。因为0f1,所以k1Tb0,因为f=b/a,即0f1。当b接近0时,椭圆接近双直线,其长度近似于4a;当b接近a时,椭圆接近圆,其周长近似于2a。当b在0与a之间变化时,形状为椭圆,其周长为L=2b+4(a-b)。以下作简要分析,如果把椭圆的a作为椭圆单位,那么f=B(椭圆单位),Bb/a(椭圆单位),其中0B1,也即0f1。T=k1+f,k1Tk1+1或k1Tk2,即是2/(-2)Tb0,所以只能称“圆是椭圆的范围”,而不能称圆是特殊的椭圆。但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参
6、考,所以笔者在椭圆定理中对圆和椭圆这两种几何图形,只能发出“圆完美的和谐,椭圆和谐的完美”这样的感叹。(三)笔者认为任何科学研究的方法都基于:1、发现特殊现象;2、提出假设或猜想;3、利用假设或猜想做出结论;4、对结论进行检验。椭圆定理就是基于这四点写出的短文。笔者认为论文不在长短,而在其价值。当今的椭圆理论是不完整的(比如只有近似的椭圆周长计算公式,缺少标准的椭圆周长计算公式),那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来?从发现来。对特殊现象的发现加以总结,通过检验就可以成为理论;理论升华就是科学,科学也是理论依据的源泉。(四)椭圆周长无疑在4aLb0)。如果引用椭
7、圆单位,则4L2(椭圆单位)。在椭圆定理短文中有“后附椭圆的奥秘椭圆周长、面积验算公式表”,可惜网上尚未能表示出“验算公式表”,相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”,并可以对椭圆周长计算公式L=2b+4(a-b)进行序列的直观检验。椭圆周长计算公式L=2b+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T,但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。(五)当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一,现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值,这也是科学的遗憾之一,所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。笔者认为一个公式的对与错,既有意义也没有意义,因为科学是发展的,科学是循序
8、渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的,但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确,如果没有这样的观念,科学也就难于进步。10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义,然而10的负50次方对现代人而言可以代表0,也可以不代表0。随着科学技术的提高,10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大,用椭圆周长的近似公式去研究宇宙,今天不出问题,明天必定要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的,科学发展到今天,我们更要具有科学发展观。任一部分椭圆面积椭圆周长(一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2b+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴
9、长为半径的圆周长(2b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=ab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率()乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。近似L=(4ab2+15(a-b)2)(1+MN) ( M=4/15-1 、N=(a-b)/a)9 ) 近似 L=Q(1+3h/(10+(4-3h)(1+MN) ( Q=a+b、H=(a-b)/(a+b)2、M=22/7-1、M=(a-b)/a)33.697 、) 标准 L
10、Q(1+h2/4+h4/43+h6/44+52*h8/47+72*h10/48) (h(a-b)/(a+b), Qa+b,)几何图形及计算公式查询平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C4aSa2长方形a和b边长C2(a+b)Sab三角形a,b,c三边长ha边上的高s周长的一半A,B,C内角其中s(a+b+c)/2Sah/2ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D对角线长对角线夹角SdD/2sin平行四边形a,b边长ha边的高两边夹角Sahabsin菱形a边长夹角D长对角线长d短对角线长SDd/2a2sin梯形a和b上、下底长
11、h高m中位线长S(a+b)h/2mh圆r半径d直径Cd2rSr2d2/4扇形r扇形半径a圆心角度数C2r2r(a/360)Sr2(a/360)弓形l弧长b弦长h矢高r半径圆心角的度数Sr2/2(/180-sin)r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2r(l-b)/2 + bh/22bh/3圆环R外圆半径r内圆半径D外圆直径d内圆直径S(R2-r2)(D2-d2)/4椭圆D长轴d短轴SDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a边长S6a2Va3长方体a长b宽c高S2(ab+ac+bc)Vabc棱柱S底面积h高VSh棱锥S底面积h高VSh/3棱台S1和S2上、下底面积h高VhS1+S2+(S1S1)1/2/3拟柱体S1上底面积S2下底面积S0中截面积h高Vh(S1+S2+4S0)/6圆柱r底半径h高C底面周长S底底面积S侧侧面积S表表面积C2rS底r2S侧ChS表Ch+2S底VS底hr2h空心圆柱R外圆半径r内圆半径h高Vh(R2-r2)直圆锥r底半径h高