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1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR 3 时时, 向量不再有向量不再有“几何几何”意义意义, 仍沿用几仍沿用几何空间的名词何空间的名词. 但其意义更为广泛但其意义更为广泛.叫做叫做n 维向量空间维向量空间.叫做叫做n维向量空间维向量空间Rn中的中的n1维超平面维超平面. 例如例如: 在描述一空间运动物体时在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的不仅与所处的空间位置空间位置(x, y, z)有关有关, 还与时间还与时间 t 有关有关, 这就是这就是四维四维时空空间时空空间, 用向量表示为用向量表示为
2、(x, y, z, t ).机身的仰角机身的仰角 机身的水平转角机身的水平转角 (0 2 );机翼的转角机翼的转角 (- );例如例如:确定飞机的状态确定飞机的状态, 需要以下需要以下6个参数个参数:飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).所以确定飞机的状态需用所以确定飞机的状态需用6维向量维向量(x, y, z, , , )表示表示.在日常工作在日常工作, 学习和生活中学习和生活中, 有许多问题都需要有许多问题都需要用向量来进行描述用向量来进行描述.三、向量组与矩阵三、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)所
3、组所组成的集合叫做成的集合叫做向量组向量组.例如例如: 矩阵矩阵A=(aij)m n有有n个个m维列向量维列向量:向量组向量组a1, a2, an称为矩阵称为矩阵A的的列向量组列向量组. 向量组向量组 1T, 2T, mT 称为矩阵称为矩阵A的的行向量组行向量组. 反之反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个矩阵.类似地类似地, 矩阵矩阵A=(aij)m n有有m个个n 维行向量维行向量:所组成的向量组所组成的向量组 1T, 2T, mT 构成一个构成一个m n矩阵矩阵所组成的向量组所组成的向量组a1, a2, an构成一个构成一个m n矩阵矩阵
4、n个个m维列向量维列向量m个个n维行向量维行向量线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应.四、线性组合与线性表示四、线性组合与线性表示 定义定义2: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对对于任何一组实数于任何一组实数k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m称为称为向量组向量组A: 1, 2, m的一个的一个线性组合线性组合, k1, k2, , km称为这个称为这个线性组合的线性组合的系数系数. 线性表示：线性表示：给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m和和向量向量
5、b, 如果存在一组数如果存在一组数 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m则则向量向量b是是向量组向量组A的的线性组合线性组合, 这时称这时称向量向量b能由向能由向量组量组A线性表示线性表示. 即线性方程组即线性方程组 1 1 + 2 2 + + m m = b有解有解 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵A=( 1, 2, , m)与与矩阵矩阵B=( 1, 2, , m, b)的的秩相等秩相等.由上章定理由上章定理5 定义定义3: 设有两设有两向量组向量组A: 1, 2, ,
6、 m 与与 B: 1, 2, , s .若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 则称则称向量向量组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可以相互线性表示以相互线性表示, 则称这则称这两个向量组两个向量组等价等价. 若若记记A=( 1, 2, , m)和和B=( 1, 2, , s), 向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 即对即对每每一个向量一个向量 j ( j =1, 2, s ), 存在数存在数k1j, k2j, , kmj , 使使 j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m即即
7、从而从而这里，矩阵这里，矩阵K=(kij)m s称为这一称为这一线性表示的线性表示的系数矩阵. 若若Cm n=Am sBs n , 则矩阵则矩阵C的的列向量列向量组能由矩阵组能由矩阵A的的列向量列向量组线性表示组线性表示, B为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵: 同时同时,若若Cm n=Am sBs n ，则则C的的行向量行向量组能由组能由B的的行向量行向量组线性表示组线性表示, A为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵: 设矩阵设矩阵A经初等经初等行变换行变换变成变成B, 则则B的每个行向量的每个行向量都是都是A的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合, 即即B的行向量组能由的行向量
8、组能由A的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知由初等变换可逆性可知: A的行的行向量组也能由向量组也能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 于是于是, A的的行向行向量组与量组与B的行向量组等价的行向量组等价. 类似地类似地, 若矩阵若矩阵A经初等经初等列变换列变换变成变成B, 则则A的的列向列向量组与量组与B的列向量组等价的列向量组等价. 1. 对方程组对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为个方程称为方程组方程组A的一个的一个线性组合线性组合; 2. 若方程组若方程组B的每一个方程都是方程组的每一个方程都是方程组A的线性的
9、线性组合组合, 则称则称方程组方程组B能由方程组能由方程组A线性表示线性表示, 此时方程此时方程组组A的解一定是方程组的解一定是方程组B的解的解; 3. 若方程组若方程组A与方程组与方程组B能能相互相互线性表示线性表示, 则称方则称方程组程组A与方程组与方程组B可互推可互推, 等价方程组是同解的等价方程组是同解的. 向量组的向量组的线性组合线性组合, 线性表示线性表示, 等价等价等概念的一等概念的一个重要应用是用来描述个重要应用是用来描述线性方程组线性方程组:也就是说也就是说矩阵方程矩阵方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解. 则由上一章的定理则由上一章的定理6可得可
10、得: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 即存在矩阵即存在矩阵K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K注：第三章定理注：第三章定理6矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充要条件是有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示线性表示的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵A=( 1, 2, , m)的秩与矩阵的秩与矩阵(A,B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相等的秩相等, 即即R(A)=R(A,B). 推
11、论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与与向量组向量组B: 1, 2, , s等价等价的的充分必要条件是充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中其中A和和B是由向量组是由向量组A和和B所构成的矩阵所构成的矩阵.R(A)=R(A,B)事实上事实上,=R(B,A) =R(B)例例1: 设设证明证明:向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 并求表示式并求表示式. 证明证明: 要证向量要证向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 需要证明需要证明: 矩阵矩阵A=(a1, a2, a3)与与B=(a1, a2, a3, b)的秩的秩相
12、等相等. 为此将为此将B化为行最简形化为行最简形:B =行变换行变换 R(A)=R(B), 因此因此, 向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示.由由B的行最简形可得方程组的行最简形可得方程组Ax=b通解为通解为:故表示式为故表示式为: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c为任意常数为任意常数. b=2a1a2.特别地特别地, 取取c =0, 得表示式为得表示式为:例例2: 设设证明向量组证明向量组a1, a2与向量组与向量组b1, b2, b3等价等价.证明证明: 记记A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3
13、). 论论, 只需证只需证R(A)=R(B)=R(A,B). 将将(A,B)化为行阶梯形化为行阶梯形:根据定理根据定理2的推的推行变换行变换(A|B) =得得R(A) =R(A,B)=2.又又容易看出容易看出B中有中有2阶非零子式阶非零子式,则则 2 R(B)R(A)=R(B)=R(A,B).因此因此故故 R(B)=2. R(A,B)=2. 定理定理3: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 则则R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m),即即R(B) R(A). 以上所讨论的内容建立在向量组与以上所讨论的内容建立在
14、向量组与矩阵矩阵之间有对之间有对应关系应关系, 从而以上结论之间有如下结果从而以上结论之间有如下结果: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示 有矩阵有矩阵K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K 矩阵方程矩阵方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解. 例例3: n 阶单位矩阵阶单位矩阵E=(e1, e2, , en)的列向量的列向量称为称为n维单位坐标向量维单位坐标向量. 证明证明: n维单位坐标向量组维单位坐标向量组E: e1, e2, , en能由能由n m矩阵矩阵A=(a1, a
15、2, , am)的的列向量组列向量组A: a1, a2, , am线性表示的充分线性表示的充分必要条件是必要条件是R(A)=n. 证明证明: 根据定理根据定理2, 向量组向量组E: e1, e2, , en能能由向量组由向量组A线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,E).因此因此R(A)=R(A,E)=n.故故R(A,E) n,而而 R(A,E) R(E)=n,又因矩阵又因矩阵(A,E)仅有仅有n行行,本例的本例的结论结论用矩阵方程的方式可描述为用矩阵方程的方式可描述为:矩阵方程矩阵方程An mX=E有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=n.用矩阵的方式
16、可描述为用矩阵的方式可描述为: 对矩阵对矩阵Am n, 存在存在Qn m使使AQ=Em的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=m.存在存在Pn m使使PA=En的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=n. 当当A为为n阶方阵时阶方阵时, P, Q就是就是A的逆矩阵的逆矩阵. 因此因此, 上上述结论可以看作逆矩阵概念的推广述结论可以看作逆矩阵概念的推广.五、小结五、小结 1. n维向量的概念维向量的概念, 实向量实向量, 复向量复向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量与列向量行向量与列向量; 3. 向量向量, 向量组及线性组合与线性表示的概念向量组及线性组合与线性表示的概念, 由矩阵的秩给出判定的结论由矩阵的秩给出判定的结论; 4. 有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系的联系.作业P106-1， 2 证明证明: 任意一个任意一个n维维列向量列向量a 都能由都能由 n 维单位坐标维单位坐标向量组向量组E: e1, e2, , en线性表示线性表示.思考题解答思考题解答思考题思考题设设n维列向量维列向量a 为为而而则则显然有显然有:a = 1e1 + 2e2 + + nen.
