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1、2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座四直角坐标下通过几何图形列函数式问题【知识纵横】以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。【典型例题】【例1】（浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，）（0）P是直线AB上的一个动点，作PC轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），
2、连接PP，PA，PC设点P的横坐标为（1）当=3时，求直线AB的解析式；若点P的坐标是（1，），求的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D当PD：DC=1：3时，求的值；（3）是否同时存在，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）利用待定系数法考虑。把（1，）代入函数解析式即可。（2）证明PPDACD，根据相似三角形的对应边的比成比例求解。（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论。【例2】（浙江舟山、嘉兴）已知直线（0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点
3、P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2）， 求CD的长； 设COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ 【思路点拨】（1）分两种情形讨论。（2）过点D作DECP于点E，证明DECAOB。 先求得三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在比例线段中求出t值为多少时，h最大。【例3】（江苏常州、镇江）在平面直角
4、坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（0）的图像过点E与直线相交于点F。若点E与点P重合，求的值；连接OE、OF、EF。若2，且OEF的面积为PEF的面积的2倍，求E点的坐标；是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。 【思路点拨】（2）先利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出K。（3）先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段
5、的长，再利用勾股定理求出K。点P、E、F三点位置分K2和K2两种情况讨论。【例4】（浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 =2上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN轴，交PB于点N. 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN. 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部
6、分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式. 【思路点拨】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求、的值即可。（2）由（1）可求直线PB解析式为，可知PBOD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形。（3）分0t2，2t4两种情形讨论。【学力训练】1、（浙江湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在、轴的正半轴上，M是BC的中点P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当ADP是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与轴的正半轴交于点E，过点O作直
7、线ME的垂线，垂足为H(如图)2)当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)2、（广西北海）如图，抛物线：与轴交于点A(2，0)和B(4，0)、与轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)T是抛物线对称轴上的一点，且ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动过点M的直线l轴，交AC或BC于点P求点M的运动时间t(秒)与APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值3、（江苏
8、盐城）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC轴于点C，过点B作直线l轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案【典型例题】【例1】（浙江温州
9、）解：（1）点B在直线AB上，设直线AB的解析式为，把=4，y=0代入得：4+3=0，直线的解析式是：。由已知得点P的坐标是（1，），且点P在直线AB上，得。（2）PPAC，PPDACD。，即，。（3）分三种情况讨论：当点P在第一象限时，1）若APC=90，PA=PC（如图1），过点P作PH轴于点H。PP=CH=AH=PH=AC，即。PH=PC=AC，ACPAOB。，即。2）若PAC=90（如图2），PA=CA，则PP=AC，即。PA=PC=AC，ACPAOB，即。3）若PCA=90，则点P，P都在第一象限内，这与条件矛盾。PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。当点P在第二象限时，PC
10、A为钝角（如图3），此时PCA不可能是等腰直角三角形。当P在第三象限时，PCA为钝角（如图4），此时PCA不可能是等腰直角三角形。综上所述，所有满足条件的，的值为和。【例2】（浙江舟山、嘉兴）解：（1）C(1 , 2)、Q(2 , 0)。 由题意得：P（t, 0),C(t, - t +3),Q(3-t , 0)。分两种情形讨论： 情形一：当AQCAOB时，AQC=AOB=90，CQOA。 CPOA，点P与点Q重合，OQ=OP，即。 情形二：当ACQAOB时，ACQ=AOB=90， OA=OB=3，AOB是等腰直角三角形。 ACQ也是等腰直角三角形。 CPOA，AQ=2CP，即。满足条件的t的值
11、是1.5秒或2秒。 （2）由题意得：，以C为顶点的抛物线解析式是。由，解得。 过点D作DECP于点E，则DEC=AOB=90，DEOA，EDC=OAB。 DECAOB。 AO=4，AB=5，DE=。 ，CD边上的高=。 为定值。 要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短。 当OCAB时OC最短，此时OC的长为，BCO=90， 又AOB=90，COP=90-BOC=OBA。 又CPOA，RtPCORtOAB。 ，即。 当t为秒时，h的值最大。【例3】（江苏常州、镇江）解：（1）直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，点P（1，2）。若点E与点P重合，
12、则k122。（2）当k2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形PEPF， SPEF四边形PFGE是矩形， SPEFSGFE，SOEFS矩形OCGDSDOFSGFESOCE SOEF2SPEF， ，解得k6或k2，k2时，E、F重合，舍去。 k6， E点坐标为：（3，2）。（3）存在点E及y轴上的点M，使得MEFPEF当k2时，如图2，只可能是MEFPEF，作FHy轴于HFHMMBE， FH1，EMPE1 ，FMPF2k， 。在RtMBE中，由勾股定理得，EM2EB2MB2， （1
13、）2（ ）2（）2解得k ，此时E点坐标为（ ，2）。当k2时，如图3，只可能是MFEPEF，作FQy轴于Q，FQMMBE得， 。FQ1，EMPFk2，FMPE 1， ，BM2在RtMBE中，由勾股定理得，EM2EB2MB2（k2）2（）222，解得k 或0，但k0不符合题意， k 此时E点坐标为（ ，2）符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）【例4】（浙江义乌）解：（1）设二次函数的解析式为， 由题意得 ， 解得。 二次函数的解析式为。点P的坐标为（4，4）。 （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：当=0时， 1=2 ， 2=6。点B的坐标为（6，0）。设直线BP的解析式为， 则 ， 解得。 直线BP的解析式为。直线ODBP 。顶点坐标P（4， 4）， OP=4。 设D(，2) 则BD2=（2）2+(6)2当BD=OP时，（2）2+(6)2=（4）2 解得：1=， 2=2 当2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去当=时，四边形OPBD为等腰梯形 。当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形。 （3） 当0t2时，运动速度为每秒个单
