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1、第7章 等离子体中非线性波7.1有弱色散的KdV方程1非线性波的一般讨论为了讨论非线性波动的行为，我们先从一维流体元运动方程 （7.1）的讨论开始其中F为作用力项，方程左端第二项为非线性对流项，这一项可以导致大量波一波相互作用，产生波的畸变进一步，设起始有一余弦波入射，则经过非线性项的作用,会产生的波，说明经过对流项的作用，已经将二次谐波耦合进来如果继续传播，非线性项会将更高次的谐波耦会进来，使得初始的余弦波发生变形为了进一步了解波如何在非线性项的作用下发生畸变，可以在对流速度附近对方程(7.1)线性化， (7.2)当F1为零，余弦波人射时，方程（7.2）描述扰动波的形式解即为即扰动波以速度在
2、介质中传播这样，原有波的相速度就发生了变化，成为 (7.3)这意味在波峰顶部(相当于)的相速度将大于原有波的相速度；而在波谷底部(相当于)的相速度会小于于是，在波的传播中，波的峰顶部分要比波的谷底部分运动得快这种波的追赶过程，使得初始的余弦波变得陡峭起来，如图 2-1(ii)中所示；直至最后，(图2-1(iii)中波形发生破裂如果在方程（7.1）的右边F项不为0，则可以阻止由非线性项作用产生波形变陡和破裂我们先考虑F与波振幅的二次微商项成正比,则方程（7.1）可以改写为 (7.4)从方程(7.4)的性质来看，这是一个非线性扩散方程，代表扩散系数此方程称之为柏格斯方程如前面讨论过的那样，将方程(
3、7.4)在处线性化，并以单色平面波代入，可得此方程的色散关系为 (7.5)由此可见，扩散项的存在，使频率成为复数或者说，在波的传播中，一部分波要耗散掉故(7.4)的右边项又称为耗散项前面已经在(7.3)的讨论中看到：非线性项的作用会使原来的余弦波形逐步变陡现在由于扩散项的存在，在波形变陡的同时，二次徽商项的贡献也随之迅速地增加，它起了抑制波形变陡的作用，直到某一时刻，它与非线性项的贡献相等，此时，波形达到一个平衡形状，变陡的波形不再继续发展，更不会使其发生破裂设想一个随着波运动的行波坐标系,柏格斯方程(7.4)可改写为 (7.6)考虑到有意义的解在无穷远处应保持有限，方程(7.6)的积分为 (
4、7.7)这个解的形状是一个斜坡形状的激波(如图2-2所示)，斜坡的高度为,厚度为激波以速度沿x轴传播因此，柏格斯方程可得到激波形状的解对此，在下章还会进一步讨论2. KdV方程的孤波解上面谈到的由耗散项来平衡非线性项而形成定态解只是一种可能性另一种可能是色散项与非线性项相平衡最低阶次的线性色散项比例于，于是方程（7.1）可改写为 (7.8)其中为色散系数这个方程是19世纪末科特韦格（D.J.Korteweg）和德弗里斯(G.de Vries)在研究浅水波的非线性行为时首先采用的，现在简称为KdV方程也可以把KdV方程（7.8）在附近线性化，即可得到此方程的线性色散关系为. (7.9)将此色散关
5、系与伯格斯方程的线性色散关系（7.5）作一比较，即可发现（7.9）的频率总是实数，说明波在传播中没有耗散波的相速度和群速度可表为， (7.10a). (7.10b)由（7.10）看出，相速度和群速度都不是常数，这表示不同的波数k的波有不同的传播速度，这是由于色散项导致的变化。弱色散意味着波的速度近乎常数，或者。数学上已经证明：线性色散关系中存在色散项，是非线性方程有孤波解的必要条件。KdV方程（7.8）亦可以采用类似前面讨论的方法求其定态解。为此，先引入一行波坐标系，这样，KdV方程（7.8）可改写为 (7.11)对(7.11)再积分一次，可得 (7.12)以作为变量，对(7.12)再积分一次
6、，并考虑到解在处的边界条件：,则积分常数A应选为0(7.12)的积分可写为 (7.13)不难发现，方程（7.13）有解： （7.14）这是一个与相对称的偶函数，它呈现一窄的钟形曲线，如图2-3所示图中分别对应的不同值，表现为 越大，波形越窄这样的非线性波沿着x方向以速度运动，并在运动中保持其形状不变这一类型的解称之为孤波解由上面的讨论可知，由色散项和非线性项相平衡，可以形成一个非线性定态孤波解扎布斯基和克鲁斯卡1965年通过数值计算，发现两个孤波在相碰撞以后又恢复其原来的形状和速度，这个性质类似于两个粒子之间弹性碰撞的过程由此通常又把孤波称之为孤子，或孤立子（soliton）.3. KdV方程
7、的一些基本性质上面已经提到：对柏格斯方程而言扩散项代表波的耗散，因而扩散系数.(代表外界不断提供能量)而KdV方程中的色散系数却是可正可负的习惯上，以波的相速度随波数的增加而增加，此介质称之为正色散介质，这相当于；反之，相当于波的相速度随波数的增加而减少，称之为负色散介质实际上，对的正色散KdV方程，只要做坐标变换,就可以得到与负色散介质完全一样的KdV方程不过，正色散情况下孤波的传播方向与负色散介质孤波的传播方向相反另一方面，从KdV方程的定态解（7.14）可以看出：正色散和传播速度的孤波有下凹的钟形曲线，这一类型的孤波又称为稀疏形孤波（rarefied solitary wave），或称之
8、为腔子（caviton）稀疏形孤波的图参见图2-4（i）,;其对应的萨捷耶夫（R.Z.Sagdeev）势随变化的图见图2-4(ii).而在图2-3和图2-5(i)问中显示的上凸形曲线，代表着负色散的孤波，这种孤波又称为压缩形孤波（compressive solitary wave）萨捷耶夫势是讨论等离子体中KdV方程时的一个常用概念，即由（7.13）得 (7.15) 可以将(7.15)与能量守恒方程作一简单类比，(7.15)左边第一项可以看成是质量为“粒子”的动能，而第二项就可以看作势能方程(7.12)则可以看成“粒子”的加速方程，也可看作质量为的“粒子”在位势中运动，往返散射，获得加速不难发
9、现，为了方程（7.15）有意义，孤波运动的速度必须大于波的特征速度的三分之一另外，从图2-4(ii)和图2-5(ii)的比较可以看出：稀疏形孤波与压缩形孤波两者的萨捷耶夫势亦是方向相反的事实上，KdV方程可以通过线性变换 (7.16)变换成不同的形式（已略去变数中的撇号“”），如 (7.17a) (7.17b)当然，这也包括前面讨论过的压缩形和稀疏形孤波方程形式在有些讨论KdV方程的教科书和文献中，常采用 (7.17)作为KdV方程的标准形式.7.2 KdV方程描述的等离子体孤波前一节讨论了等离子体波中存在有弱色散时，则此波在非线性演化时，波的非线性项与波的色散项达到某种平衡，可产生一种孤波结
10、构在小振幅的情况，此孤波一般可用KdV方程来描述在等离子体中有许多波可以形成KdV方程孤波本节将着重介绍离子声孤波、动力学阿尔文孤波、磁声波孤波，以及它们在等离子体中的应用在这些介绍中也会涉及到静电离子回旋波、电子声波等孤波及其应用7.2.1离子声孤波离子声波是等离子体中电子温度远大于离子温度时，电子相对于离子产生的一种低频静电波它在等离子体中有着广泛的用途离子声孤波是最早被研究的孤波之一本节介绍： （1）无磁场和无束流运动条件下的离子声孤波及其与 KdV方程的关系（2）介绍磁化等离子体中斜向传播的离子声孤波以及静电离子回旋波（3）将说明由粒子束流或者电子具有双温分布情况下，离子声波不但可以形
11、成压缩形孤波，也可以形成稀疏形孤波，而且还可以形成稀疏形的电子声孤波（4）介绍这些非线性的离子声波和电子声波如何形成微观电双层结构的1.离子声波模型及其孤波解 我们先考虑在一个未磁化的等离子体中激发的离子声波沿着x方向传播由于电子质量很小，其惯性质量在目前离子声波的传播过程中常可以略去不计，于是电子的动量方程写为 (1)其中为电势，为电子气体压强.再假设波传播时保持等温，则由（1）积分，可得电子密度分布满足波尔兹曼分布 (2)这里是未扰动时电子密度由于离子声速 总是远小于电子的热速度，电子有足够时间达到玻尔兹曼分布泊松（S.D.Poisson）方程可以写为 (3)离子的质量守恒和运动方程可以写
12、为 (4) (5)对方程（3）-(5)线性化，并用展开,即可得离子声波的线性色散关系 (6)其中是德拜半径,由色散关系(6)可见,它包含有与成比例的色散项().这是非线性方程能得到孤波解的必要条件.为了下面讨论方便,引入一组无量纲量: (7)其中为未扰动密度,为离子等离子体频率.这样方程(3)-(5)变为 (8) (9) (10)下面引入运动坐标系,其中,是以离子声速为单位的马赫数.是孤波传播的相速度.于是,代入(9)并积分,得 (11)此处考虑到时的边界条件,同例,可对动量方程进行类似的推导,并注意到: ,则可得能量方程 (12)由(11)和(12)消去,得离子分布 (13)将此式代入泊松方程(8) (14)与前求萨捷耶夫势的方
