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1、多维随机变量及其联合分布一、主要内容1二维随机变量及其联合分布注意其分量 或 的分布，同时也要注意由于交互作用所产生的概率效果。如果令，则=，（交运算）二维离散型随机变量的概率分布，用二维联合分布律讨论。满足：a)非负性0，； b)规范性=1 。二维连续型随机变量的概率分布用联合概率密度（简称密度函数）讨论，满足：a) 非负性：0，；b) 规范性：， 。分布函数为：= ，（所有随机变量都可用）分布函数的性质。例1. 设随机变量与独立，其中的分布为 ，而的概率密度函数为，求随机变量=+的概率密度g(u)。解：由于为离散型随机变量，为连续型随机变量，故只能用分布函数讨论的分布。由定义，设为的分布函
2、数，则 ，有 = =利用与的独立性，可得求导后有 。二维连续型随机变量分布函数与密度函数的关系：= 由密度函数求分布函数（难点）： 由分布函数求密度函数（注意边界）常用二维随机变量：均匀分布、正态分布、两个独立一维所构成的二维正态分布或例2.试求在区域D上服从均匀分布的随机变量的联合分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域。分析：分段密度函数时一定要分清需要积分的区域，故一般先画个草图，标出非零的密度函数，然后分不同情况观察 落在给定的左下方平面区域内的概率，从而标出 的值。解：首先计算区域D的面积，区域D是边长为1的三角形，其面积为，故的联合密度函数为：， 下面分5种情
3、况讨论：1）当时，于是有联合分布函数；2）当时，如图所示；3）当时，如图所示 ；4）当时，如图所示 ；5）当时，综合起来，的联合分布函数为：。例3设二维随机变量的密度为 ，试求分布函数以及概率 。分析：由密度函数求分布函数可以按上例的分析先作图，再积分来求解；在计算随机变量满足某种关系的概率时可用密度函数积分，而随机变量关系则反映在其积分区域上。解：这里分为5种情况考虑，即 用密度函数积分计算概率。 。注：积分时符号对应，且 。2.边缘分布，条件分布及独立性1）边缘分布已知二维分布时，易求边缘分布，反之一般不行；当，独立时，可由乘法运算求得二维联合分布。离散型随机变量的联合分布律为： ，则其边
4、缘分布为： ， 。连续型随机变量的联合密度函数为 ，则：，。联合分布函数为，其边缘分布则为：， 。2）条件分布（利用二维分布与事件交的关系来定义）对于离散型随机变量，当时对于连续型随机变量，条件密度函数，。（分母不能等于0，换句话说，分母为0时条件密度函数不存在。） 例4设随机变量在1，2，3，4中等可能地取值，而随机变量在中等可能地取一整数值，求的联合分布及边缘分布。分析：本问题的特殊处在于在中取值，但是随机（不确定）的。对此类问题有时可以用条件概率分析，如：若 ，则就在1，2，3中等可能地取整数值，这时问题就比较清楚了。解：考虑= ，其中 ，由于 ，而当 时 ，当 时， ，于是可有联合分布
5、律和边缘分布：123412030040001X1234PY1234P例5设随机变量在区间（0，1）上可以随机取值，而当取到时，则在（）上随机取值，试求：1.（，）的联合分布；2.的边缘分布；3.。分析：此题与例7相似，但此处是连续型的问题。解：由题意 ，而当时， 。这样当时 。注：当时，由于条件密度无定义，故要另外设法证明。而当时，由于，故 。另外当时，由于 故。另外添上时的情况以后可以有 。的边缘分布易于从积分求得： 。而概率亦可由积分求出：例6.把一枚均匀硬币连抛三次，以表示在三次中出现正面的次数，表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求的联合概率分布；，的边缘分布及条
6、件概率。解：当连抛三次出现三次反面时，的取值为；出现一次正面两次反面时，的取值为；出现两次正面一次反面时，的取值为；出现三次正面时，的取值为，则；。所以，的联合概率分布为： YX1300102030，的边缘分布分别为：X0123PY13P条件概率.例7设的密度函数为 试求其边缘密度与条件密度函数。分析：求边缘分布应先画出平面上不等于0的部分，再援引公式 ，如密度函数为分段函数，应据等于常数的直线是否与阴影部分相交，把分成几个区域进行讨论。求条件密度应注意当不等于0时才有定义。解：边缘密度为：注意：要求，故只考虑。= ； 类似当 时， 。 注意：1）分段二维密度的边缘分布表达式不能漏掉0的部分；
7、2）条件分布必需注意何时才有意义。3）独立性（，间独立性几种等价定义）（联合=边缘之积，条件=无条件）a） 的条件分布等于边缘分布。b） = ， 。c）连续时= ， ；一般密度函数可变量分离：，则和相互独立。d）离散时，= ， 。例8已知的分布分别为 ， ，且，求的联合分布，并问独立否？分析：条件等价于 ，且零概集的子集仍是零概集，推出均为零概集。 解：由于，从而 ， 得到分布律：-101001001注：“零概集的子集仍是零概集”这一性质常用于计算题或证明题的讨论，在使用时请注意零概集与空集的区别，即 ；但若，不能推出。例9设的密度函数为 ，试证，独立的充要条件为可分离，即存在 使对任意，有=。证：必要性显然，下面只证充分性。假设=，则= ，已知=，则必收敛，且= ，同理，=， 则有 =。由二维密度规范性，有 1=。代入上式，就知 = 对任意均成立，故，独立，证毕。注：本例结论可以作为平时判独立性的一种方法，但对分段的必需同时注意其函数表达式以及范围的乘积关系。7
