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1、专题训练(六)巧用等腰三角形的性质求解五类问题 类型一证明线段相等1如图6ZT1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CECD.求证：BDDE.图6ZT12已知：如图6ZT2，ABAC，D是AB上一点，DEBC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：ADF是等腰三角形图6ZT2类型二证明两线垂直3如图6ZT3所示，在ABC中，ABAC，ABDACD.求证：ADBC.图6ZT34如图6ZT4，在ABC中，ABAC，D为AC上一点，DBCBAC.求证：ACBD.图6ZT4类型三证明两角相等52019裕华区校级模拟如图6ZT5，在ABC中，ABAC，BDAC于
2、点D，CEAB于点E，BD，CE相交于点F.求证：BAFCAF.图6ZT56如图6ZT6，AD是BAC的平分线，点E在AB上，且AEAC，EFBC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H.(1)求证：AD垂直平分CE；(2)求证：EDHEHD.图6ZT6类型四证明角的倍分关系7已知：如图6ZT7所示，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，AEED，PB与线段CF，AF分别交于点P，M，FMCD.求证：BAC2MPC.图6ZT8类型五证明线段的倍分关系8如图6ZT8所示，在ABC中，ABAC，A120，AB的垂直平分线MN与BC，AB分别交于点M，N.求证：CM2BM.图6ZT89如图6Z
3、T9所示，过等边三角形ABC的边AB上一点P，作PEAC于点E，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连接PQ交AC边于点D.求证：(1)PDQD；(2)DEAC.图6ZT9详解详析1解析 欲证BDDE，只需证DBEE.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得DBEABC30.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得E30.由此可得结论证明：ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，ABCACB60，BDAC，BD平分ABC，DBEABC30.CDCE，CDEE.ACB为CDE的外角，ACB60，CDEE60，CDEE30， DBEE，BDDE.(等角对等边)2证明：ABAC，BC.
4、(等边对等角)DEBC于点E，FEBFEC90，BEDBCEFC90，EFCEDB.(等角的余角相等)又EDBADF，(对顶角相等)EFCADF，ADF是等腰三角形3解析 首先证明DBCDCB，可得DBDC，再加上条件ABAC，公共边ADAD，可利用SSS证明ABDACD，进而得到BADCAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出ADBC.本题通过证明线段AD所在的直线是BC的垂直平分线也可得证证明：如图，延长AD交BC于点M.ABAC，ABCACB.又ABDACD，ABCABDACBACD，即DBCDCB，DBDC.ABAC，DBDC，线段AD所在的直线是线段BC的垂直平分线
5、，ADBC.4解析 首先过点A作AEBC于点E，交BD于点F.由ABAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CAEBAC，又由DBCBAC，可得CAEDBC.在ADF与BEF中，易证得ADFBEF90，即可得ACBD.证明：如图，过点A作AEBC于点E，交BD于点F.ABAC，AEBC，CAEBAC.(等腰三角形“三线合一”)又DBCBAC，CAEDBC.又12，ADF1802CAE，BEF1801DBC，ADFBEF.AEBC，BEF90，ADF90，ACBD.5证明：ABAC，(已知)ABCACB.(等边对等角)BDAC，CEAB，(已知)CEBBDC90，ECB90ABC，DBC90
6、ACB，ECBDBC，(等量代换)FBFC.(等角对等边)在ABF和ACF中，ABFACF，(SSS)BAFCAF.(全等三角形的对应角相等)6证明：(1)AEAC，AD是BAC的平分线，AD垂直平分CE.(2)由(1)可知D为CE垂直平分线上的点，CDDE，DCEDEC.EFBC，DCECEFDEC，EG平分DEF.EGAD，DEH是等腰三角形，且EDEH，EDHEHD.7解析 先由AF平分BAC证明BAEBAC，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明CDEBAE.从而CDEBAC.然后在MDC和MPF中证明MDCMPF，进而得MPCCDEBAC.证明：AF平分BAC，BCA
7、F，BAECAEBAC，CEBE.CEAE，AEED，ACCD，CDECAEBAC.BCAF，CEBE，CMBM，CMABMA.又BMAPMF，CMAPMF.又FMCD，MPF180(FPMF)，MDC180(MCDCMA)，MPFMDC，MPCCDECAEBAC，BAC2MPC.8证明：连接AM，MN垂直平分AB，AMBM.BAC120，ABAC，BC30.AMBM，BBAM30，MAC1203090.在ACM中，MAC90，C30，CM2AM，CM2BM.9导学号：52222282解析 (1)过点P作BC的平行线交AC于点F，通过证明PFD和QCD全等，可推出PDDQ；(2)由APF是等边三角形和PEAC，可推出AEEFAF.由PFD和QCD全等，可得出FDCDFC，进而可得DEAC.证明：(1)如图，过点P作PFBC，交AC于点F.ABC是等边三角形，BACB60.又PFBC，APFAFPBACB60，APF是等边三角形，PAAFFP.又PACQ，FPCQ.PFBC，FPDQ.在PFD和QCD中，PFDQCD，(AAS)PDQD.(2)由(1)知PAPF，又PEAC，AEEFAF.(等腰三角形“三线合一”)由(1)知PFDQCD，FDCDFC，DEEFFDAFFC(AFFC)AC.第 页
