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1、分类思想在初中教学中的渗透高塘学校 沈光久 2009.5 推行素质教育,培养面向新世纪的合格人才,使学生具有创新意识,在创造中学会学习,教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治。波利亚所说:“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路” .随着课程改革的深入, 应试教育“向”素质教育“转变的过程中,对学生的考察,不仅考查基础知识,基本技能,更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法;要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括;会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养,对学生进行思想观念层次上的数
2、学教育。 数学学习离不开思维,数学探索需要通过思维来实现,在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法,培养思维能力,形成良好的数学思维习惯,既符合新的课程标准,也是进行数学素质教育的一个切入点。 数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。 所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。 分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就
3、其引起分类的原因,可归结为:涉及的数学概念是分类定义的;运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。 分类思想不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。 教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对分类
4、思想的主动应用。一、 渗透分类思想,养成分类的意识 每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。如数的分类,绝对值的意义,不等式的性质等,都是渗透分类思想的很好机会。 整数、 分数 正有理数 零 负有理数 教授完负数、有理数的概念后,及时引导学生对有理数进行分类,让学生了解到对不同的标准,有理数有不同的分类方法,如分为: 有理数 有理数 为下一步分类讨论奠定基础。 认识数a可表示任意数后,让学生对数a 进行分类,得出正数、零、负数三类。 讲解绝对值
5、的意义时,引导学生得到如下分类: 通过对正数、零、负数的绝对值的认识,了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。 又如,两个有理数的比较大小,可分为:正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较,而负数和负数的大小比较是新的知识点,这就突出了学习的重点。 结合“有理数”这一章的教学,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后,还要注意分清层
6、次,不越级讨论。 二、 学习分类方法,增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在。 分类的方法常有以下几种: 1、根据数学的概念进行分类 有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类。例1,化简解: 这是按绝对值的意义进行分类。 例2、比较 与 易得 的错误,导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论,既可得到正确的解答: 0 时 ,= 0 时 ,a3的形式,然后根据不等式的性质可分为a20
7、,a20,和a20三种情况分别解不等式。 当a20,即a2时,不等式的解是x 当,a20,即a2时,不等式的左边0,不等式的右边1 因为011,所以不等式的解是一切实数。 当a20,即a2时,不等式的解是x 3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类 如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。 例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,底边长为a,则其腰上的高是 .(2002年河南中考题) 分析:本题根据图形的特征,把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD,如图,可得腰上的高是 或从几何
8、图形的点和线出现不同的位置进行分类 在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部,角的外部三种不同的情况,因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上,这种最容易解决的情况,然后通过作过圆周角顶点的直径,利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上,弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。三、引导分
9、类讨论,提高合理解题的能力 初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。 一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:;其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题 例4、已知函救y(m-1)x2(m-2)x1(m是
10、实数)。如果函数的图象和x轴只有一个交点,求m的值。 分析:这里从函数分类的角度讨论,分 m1=0 和 m110 两种情况来研究解决问题。 解:当ml 时函数就是一个一次函数yx1,它与x轴只有一个交点(-1,0)。 当 m11 时,函数就是一个二次函数y(m1)x2(m2)x1 当(m2)2+4(m1)=0,得 m=0. 抛物线 y=x22x1,的顶点(1,0)在x轴上 例5、 函数 y = x6 x5 + x4- x3 + x2 x +1,求证:y 的值恒为正数。 分析:将y的表达式分解因式,虽可证得结论但较难。分析可发现,若将变量x在实数范围内适当分类,则问题容易解决。 证明: 当x 0
11、时 x5 - x3 - x 0 , y1恒成立; 当0 x x5 , x2 x3 , 1 x y 0 成立; 当x = 1 时, y = 1 0 成立; 当x 1时 y = ( x6 x5 ) + ( x4 x3 ) + ( x2 x ) + 1 x6 x5 , x4 x3 , x2 x y 1成立 综上可知,y 0 成立。例6、已知ABC是边长为2的等边三角形,ACD是含30角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个凸四边形ABCD.(1)画出四边形ABCD;(2)求四边形ABCD的面积。 分析含30角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边
12、和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD(DDAC=30和DDAC=60这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的,故归纳为同一类)。AC为直角边又可分为二种不同情况如图2和3.从图1,S四边形ABCD=;从图2,可算得S四边形ABCD=;可算得S四边形ABCD=3 由以上的几个例子,我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单,解题思路非常的清晰,步骤非常的明了。另一方面在讨论当中,可以激发学生学习数学的兴趣。 利用现有教材,教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法,结合其它数学思想方法的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。