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1、排列、组合和概率教材全解动态1. P283/例3 如图所示的53方格中矩形有 90 个。2. P283/例4 三边长均为整数,且最大边为11的三角形有 36 个。ABDC3. P285/例9 用五种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,有 320 种不同的涂色方法。4. P285/例10 求4320的不同的正约数的个数 48 个。5. P286/例12 王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读,(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的带法? 12 (2)若带外
2、语、数学、物理参考书各一本,有多少种不同的带法? 60 (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法? 47 12346. P287/例13 在中有四个编号为1、2、3、4的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑5种颜色,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有 260 中不同涂法。7. P287/例14 在直角坐标平面上点的坐标满足,且都是集合,又点P到原点的距离,求点P的个数。 20个 8. P288/例15 某班试用电子投票系统选举班干部候选人,全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,3,.,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)
3、按“0”,令,其中,且,则同时同意第1,2号同学当选的人数为 。9. P288/例16 现在1角币3枚,5角币2枚,1元币6张,2元币4张,5元币3张,10元币3张,则它们可组成 483 中不同的币值。10. P288 师问:我有5本书要全部借个3名学生,有多少种不同的借法? 生甲:第一个人借5本中的一本,共有5种借法;第二个人借剩下4本中的一本,有4种借法;第三个人借剩下3本中的一本,有3种借法;还剩下的两本书借给三个人中任何一人即可,故共有54333=540种借法。 生乙:不对,借书时,并没有要求每人必须把书借完即可,再按上述借法还有重复的,如果将这5本书编号为1,2,3,4,5,三个人不
4、妨设为A、B、C,设开始A借1号书,而剩下的两本书(4,5号)中4号书借给A;反过来,开始A借4号书,而后来1号书借给A,那么这两件事实质上都是A借了,因而它是同一件事(B,C借的书一样),并且这其中重复的次数又不好计算,不过由此可受到启发:我们可以反过来以“书”为主进行分析,即每本书应借给三个人的一个,按1,2,3,4,5号书的顺序依次借出这五本书,则共有33333=243种不同的借法。 师问:不错,如果是三个人分配到某工厂的5个车间去参加社会实践,则有多少种分配方案? 生甲:三个人分到5个车间,可能有的车间没有人,而人必须分完,因此应以“人”为它进行分析,即每个人可得到5个车间中的一个,有
5、5种分法,因而共有555 = 种分配方案。 师问:不错,因此我们在解这类问题时,关键在于搞清楚以谁为主,那么对于具体问题我们应该如何确定以谁为主呢? 生乙:恩,借书时是以书必须借完,因此以书为主;而人员分配是人必须分配完,因此以人为主,啊!我知道了,那类元素必须用完,就以那类元素为主。 师评:很对!解决这类元素可重复选取问题,我们可用分步计数原理来求解,分步时,看哪类元素必须用完,就以该类元素为分步的依据进行分步。11. P289/例17 (1)5名学生从3项体育项目中选择参赛,若每一位学生只能参加一项,则有 种不同的参赛方法;(2)若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限),则冠军
6、获得者有 种不同情况(没有并列冠军)。12. P289/例18 有4名学生参加3项不同比赛,(1)每名学生必须参加一项竞赛,有 81 种不同结果;(2)每项竞赛只许一名学生参加,有 64 种不同结果。13. P290/3 某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁4人中选出3人分别担任书记、副书记、组织委员,规定上届任职的甲、乙、丙3人不能连任原职,则不同的任职方案有 11 种。14. P290/6 5位教师去听同时上的4节课,每位教师可任选其中的一节课,求不同的听法种数。15. P290/10 正八边形有八个顶点,在由这8个顶点连成的三角形中,有 40 个与正八边形有公共边。16. P290/1
7、1 关于自然数2160,回答以下两个问题:(1)它有 40 个正因数;(2)它的所有正因数的和为 7440 。17. P295/例10 沪宁铁路上有6个大站,即上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门为沪宁线上的这六个大站应准备(这六个大站间)多少种火车票? 30 18. P295/例11 一条铁路原有个车站,为适应客运需要,新增加了个车站(),客运车票增加了62种,问:原来有多少个车站? 15个 现在有多少个车站? 17 个 19. P296/例12 六个人按下列要求站成一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站在右端,也不站在左端; 480种 (2)甲、乙站在两端; 48种 (3)甲
8、不站在左端,乙不站在右端。 504种 解题规律:解答这类有限制条件的排列问题,常用的方法有“直接法”和“间接法”(即剔除不符合条件限制的情况)。如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂, 而反面问题分的类较少或计算较方便,则用“直接法”较麻烦,往往采用“间接法”。 用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题基本的方法有:元素分析法即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置。“在”与“不在”问题是排列问题中的常见类型,常用“元素分析法”、“位置分析法”。当题目中有两个约束条件时,往往考虑一个约束条件的同时,还需要考虑另
9、一种约束条件,这就需要进行正确的分类,如本题中的问题,有时“分的类”较多,用直接较麻烦,往往采用“间接法”。20. P297/例13 用0,1,2,3,4五个数字:(1)可组成个五位数;(2)可组成个无重复数字的五位数;(3)可组成个无重复数字的且是3的倍数的三位数;(4)可组成个无重复数字的五位奇数;(5)在没有重复数字的五位数中,按由小到大的顺序排,42130是第个数,第61个数是;(6)可以组成个无重复数字的且奇数在奇数位上的五位数。21. P297/例14 高三年级某班星期一的课程表(每天排6节课)要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课,如果第一节不排体育,第六节不排数学,一
10、共有种不同的排法。22. P298/例15 从数字0,1,3,5,7中取出不同的3个作系数,可以组成个不同的一元二次方程,其中有实根的方程的有个。23. P298/例16 2名教师和6名学生排成一排,使2名教师之间有3名学生,这样的排法有种。解题规律:解决这类“集团”(有些元素必须组成一个整体)排列问题的基本方法是“捆绑法”,即先排集团内部的排列,再把它看作一个元素,与其他元素合在一起再排列。24. P299/例17 5名男生和2名女生排成一排,如果男生甲必须站在中间,两名女生必须相邻,共有种不同排法。25. P299/例18 5名男生和3名女生排成一排,则女生不站在一起的不同排法种。解题规律
11、:解决这类“间隔”问题(有些元素不相邻)排列问题的基本方法是“插空法”,即先排不需要的间隔元素,再将需要间隔的元素插进来即可。26. P299/例19 某次文艺晚会上,共演出8个节目,其中2个独唱、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节目单的方法:(1)一个独唱开头,另一个压台;(2)两个独唱不相邻;(3)两个独唱相邻且3个舞蹈节目不相邻。27. P299/例20 4名男生和3名女生排成一排:(1)一共有 种不同排法;(2)甲站在正中间的不同排法有 种;(3)甲、乙两人必须站在两端的排法有 种;(4)甲、乙两人不能站在两端的排法有 种;(5)甲不站在排头,乙不站排尾的排法有 种;(6
12、)4名男生站在一起,3名女生站在一起有 种排法;(7)男女相间的排法有 种;(8)女生不想邻的排法有 种;(9)甲、乙两人中间间隔两人的排法有 种;(10)甲排在乙的右边有 种不同的排法。28. 圆排列就是把个不同元素放在圆周的个无编号的位置上的排列,顺序(如按顺时针)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而无首尾之分,它可以把某个元素(如)去掉,把圆排列看作普通排列,并把该元素的左边看作首,右边看作尾,于是个元素的圆排列有种不同的排法。P301/例21 8个女孩、25个男孩围成一圈,任何两个女孩间至少站在两个男孩有 种不同的
13、排法。(把旋转一下就重合的排法认是相同的)29. P301 师问:写出字母的所有排列。 甲生:有6种: 师问:如果设由字母的所有排列种数为,并用代替上面排列中的两个,用代替上面排列中的两个,则如何求出? 乙生:代替后,相当于4个元素全排列,有种,而在这种排法中其他元素位置不变,使与交换位置,有2!种排法,类似与交换有2!排法,由分步计数原理可知:2!2!,种。 师问:将4本相同的练习本,3本相同的作文本,3本相同的英语本排成一排有多少种不同的排法? 甲生:设其排法种数为,将4本相同的练习本看作不同的练习本,并设其他本子的位置不动,则有种排法;同样3本作文本有种排法,3本英语本有种排法,而10本
14、不同的练习本有种排法,因而有,即种,故共有4200种不同的排法。 师问:推广到一般,结论如何?乙生:有个元素,其中有个元素相同,又有个元素相同又有个元素相同,则这个元素的排列种数为。高考题与“四色定理”30. P302/1 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图),现在要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种。(以数字作答) 2第31题第30图651433145231. P302/2 如图,一个地区分为5个行政区,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种。(以数字作答)32. P
15、303/1 若个学生排成一排为,这个学生排成三排,每排人,排法种数为,则 。()33. P303/2 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有 种。34. P304/3 要排一个由5个独唱节目和3个舞蹈节目单,如果舞蹈节目不排第一,并且任何2个舞蹈节目不连排,则不同的排法种数是 种。35. P304/9 用0,1,2,3,4五个数字组成的无重复数字的五位数中,其依次从小到大的顺序排列,(1)第49个数字是 30124 ;(2)23140是第个数。36. P304/10 6人排成一排,(1)其中A、B、C三人必须相邻,且D不站在排头和排尾;(2)其中A、B都不能与C相邻,问各有几种排法?(1)共有种;(2)共有288