椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为 . ＋＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e的取值范围是[，1).(2)＝mnsin 60°＝b2，【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()2，|PF1|≥a－c. 【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.(1) .(2)为＋＝1.【变式训练3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是( ) 【解析】选B题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．. 【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )A. B. 2 C. D. 3选A.2（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．【答案】B4.【2012高考新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
答案】36【2012高考江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】【 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】－＝1(x≥).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( ) 【解析】选D.题型二 双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )－e2＞1 －e2＜1－k2＞1 －k2＜1【解析】，故选C.题型三 有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.【解析】(1)轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.(2)符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于( )＋2 ＋2 －2 －2 【解析】故选D总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±x，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.练习1、【2012高考山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】D2．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 A．(－，) B．(0，)C．(－，0) D．(－，－1)3.【2012高考湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .【答案】【例3】由题意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①直线A2Q的方程为y＝(x－).②方法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③则x≠0，|x|＜.而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝(x2－2).③又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y＝1，即y＝－1.代入③式整理得＋y2＝1.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.解方程组得x＝，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，解得k1＝，k2＝－.由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由×(－)＝－1，得h＝.此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，它们与轨迹E分别仅有一个交点(－，)与(，).所以，符合条件的h的值为或.【变式训练3】据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝x.由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(＋1)x－x＝4a，即x＝2a＝|AF1|.故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝＝.又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝2a－2a，即＝2－2a，两边平方整理得c2＝a2(5－2)?＝e2＝5－2，. 抛物线典例精析题型一 抛物线定义的运用【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，－4)；(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.【解析】(1)y2＝8x或x2＝－y.(2)方程为y2＝±2x或y2＝±18x.【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.【解析】dmin＝.。