完整word版)二阶等差数列及其通项公式二阶等差数列及其通项公式⑷ 1，2，4，7，11，16，22,…⑸ 1，3，6，10,15，21,28，…⑹ 1，3,7，13，21,31，43，…通过观察分析,也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式,并给出一个相关定义二、 预备知识：1、 等差数列的定义：如果一个数列a1,a2，a3,…，an，…,从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 — a2=… = an - an—1 = d，则称此数列为等差数列,常数d叫等差数列的公差2、 等差数列的通项公式:an =a1 + （ n - 1 ） d， 公 差: d = a2 — a1三、 二阶等差数列的定义及其通项公式：a) 定义：如果一个数列a1,a2,a3，…，an,…, （★）从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a2 - a1，a3 - a2,a4 — a3，…， an — an-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，d =（a3 — a2） — （a2 — a1)= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差显然，依此定义可以判断,⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列.其二阶公差分别为1、1、2.说明：⑴、为区别于二阶等差数列,可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列b) 二阶等差数列的通项公式:设数列a1，a2，a3，…，an,…是一个二阶等差数列，为了书写的方便,我们记数列a2 — a1，a3 - a2，a4 — a3，…，an - an-1，…为 b1 , b2 , b3 , …，bn-1 , …， (☆）即记bn= an+1 - an, (n≥1，n∈Z)则数列 (☆) 是一个一阶等差数列显然，对于数列（☆）,d = b2 - b1 = a1 + a3 — 2a2,根据等差数列的通项公式,则有bn= an+1 - an = b1 + (n-1） d，（n≥1,n∈Z）由此得，an +1= an + b1 + (n-1) d依此规律，则有a2 = a1 + b1,a3 = a2 + b1+d，a4 = a3 + b1+2d,…………………an = an—1 + b1 + (n-2 ) d，由上面各式左右分别相加,可得an = a1 +（n-1）b1 +，（●）此即为二阶等差数列的通项公式，其中，b1 = a2 — a1,[注:bn= an+1 — an， (n≥1,n∈Z）］c) 例证：对于数列⑷，知a1 =1,b1 =1,d=1，则由公式(●)可得,an=1+(n-1）×1+=，代入验证，正确。
同理可求知⑸、⑹的通项公式：⑸、an = ⑹、an = n2—n+1由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。