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1、1（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC解答：证明：（）连接CE，则ADBC，BC=AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设ACBE=O，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC
2、3（2014湖北）在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面PBD；（）设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP为45解答：解：（）取PD的中点F，连接EF，AF，E为PC中点，EFCD，且，在梯形ABCD中，ABCD，AB=1，EFAB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，BE平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD（4分）（）平面PCD底面ABCD，PDCD，PD平面ABCD，PDAD（5分）如图，以D为原点建立空
3、间直角坐标系Dxyz则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分），BCDB，（8分）又由PD平面ABCD，可得PDBC，BC平面PBD（9分）（）由（）知，平面PBD的法向量为，（10分），且（0，1）Q（0，2，1），（11分）设平面QBD的法向量为=（a，b，c），由，得，（12分），（13分）因（0，1），解得（14分）4（2014江苏）如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC解答：证明：（1）D、E为PC、AC的中点，DEP
4、A，又PA平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF；（2）D、E为PC、AC的中点，DE=PA=3；又E、F为AC、AB的中点，EF=BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面ABC；DE平面BDE，平面BDE平面ABC13（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE解答：解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面AB
5、C，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE16（2010深圳模拟）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角AEFD的大小解答：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），取SD的中点，则平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），EF中点，又，所以向量和的夹角等于二面角AEFD的平面角所以二面角AEFD的大小为292010-2014 菁优网
