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1、数列专题复习1已知三个实数成等差数列，如果最小的数乘以2，最大的数加上7，则成等比数列，且它们的积为1000，求等差数列的公差。解：因成等比数列的三个数的积为1000，故设成等比数列的三个数为（1）时，解得或（舍去）。此时2，10，18成等差数列，公差为8。（2）时，类似可求得公差为。2设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.（1）证明：因，成等比数列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得 （2）解：由条件和，得到，由（1），代入上式得，故 ，3一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和（1） 若这个数列前n项和最
2、大，求n的值（2） 求该数列前14项的和分析 （1），说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正负分界项，便得到n的值（2），显然不能求出的具体值，为此，只有设法探求与它们的关系解 （1）由已知，得，因数列首项为正，故公差，且，所求n的值为7（2）设首项为，公差为，,即，故4设数列是等差数列，是它的前n项的和，已知=7，=75，为数列的前n项的和，求解：(难度系数0.72)设数列的公差为，则，解之得：，所以；设，是等差数列，令，解得：，所以小于0，时，；所以当时，；当时，；所以5已知等差数列an中，a2=8,前10项和S10=185.（1）求通项
3、；（2）若从数列an中依次取第2项、第4项、第8项第2n项按原来的顺序组成一个新的数列bn，求数列bn的前n项和Tn.考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 （1）设an公差为d,有解得a1=5,d=3an=a1+(n1)d=3n+2(2)bn=a=32n+2Tn=b1+b2+bn=(321+2)+(322+2)+(32n+2)=3(21+22+2n)+2n=62n+2n6.6已知数列的前项和,且,求.解：（难度系数0.72）因为，所以当时，两式相减，得：，所以，所以，所以，所以，经检验，也适合；所以.7已知数列中，且，求。解：由已知，得，且。当时，整理得：， ,所以, 。8已知数
4、列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.(）解：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时,；当时，9已知数列an中,是其前项的和,且对不小于2的正整数满足关系.（I）求、；（II）求数列an的通项.答案：（I）、；（II）数列an的通项.10数列an共有k项(k为定值)，它的前n项和Sn=2n2+n(1nk，nN)，现从k项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79。(1)求数列an的通项。(2)求出k的值并指出抽取的第几项。答案(1)an=4n-1(1nk)(2)抽取的是第20项。11设正数数列的前n
5、项和Sn满足.求：（I）求数列的通项公式；（II）设的前n项和为Tn，求Tn解：（I） 2分得，整理得 4分是等差数列. 6分又 8分（II）10分12分12设是等比数列,已知, ,求： (1) ； (2) 数列的前项和解（难度系数0.60） (1) 因为，所以，所以；因为是等比数列,所以，；(2) 因为,所以时，两式相减得：，经检验也适合，所以.13设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. （）求数列的通项公式（用S1和q表示）； （）试比较的大小，并证明你的结论.解：（）是各项均为正数的等比数列. 当n=1时，a1=S1， 当6分（）当n=1时，8分当 当q
6、=1时，当当13分综上可知： 当n=1时，当若 若14分14已知数列满足,它的前项和为，且，（）求； （）已知等比数列满足，设数列的前项和为，求解：（）由得，则数列是等差数列 2分因此， 5分（）设等比数列的公比为，由，得，则， 7分 当时， 由-得, 10分当时， 12分15数列an的前n项和是Sn，数列bn满足：b1=a1，an=-Sn+n，bn+1=an+1an. (1)求证：数列bn是等比数列，并写出其通项公式； (2)求an的通项公式； (3)求.解(1)证明：an=-Sn+n，an+1=-Sn+1+n+1，故an+1-an=-an+1+1，an-an-1=-an+1， 从而(an+
7、1-an)-(an-an-1)=-(an+1-an)，(an+1-an)=(an-an-1)， 故. 4分 (2)提示：用叠加法求an=. 8分 (3)1. 12分16 数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-1，数列bn满足b1=2，bn+1=an+bn. (1)求数列an的通项公式； (2)数列bn的前n项和为Tn，求.解：(1)当n=1时，a1=2a1-1，a1=1， 2分 当n2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1+1， an=2an-1. 4分 于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列. an=2n-1. 6分 (2)bn+1=an+bn，bn+1-bn=2n-1.
8、从而bn-bn-1=2n-2， bn-1-bn-2=2n-3, b2-b1=1， 上式相加，得bn-b1=1+2+22+2n-2 =2n-1-1，又b1=2， bn=2n-1+1. 8分 Tn=b1+b2+bn=(20+21+2n-1)+n. =2n-1+n. 10分 . 12分17设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和，且S32=9S2，S4=4S2，求数列an的通项公式.解：设等差数列an的公差为d，由Sn=na1+及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)， 4a1+6d=4(2a1+d). 6分 由得d=2a1，代入有， 解得a1=0或a1=.当a1=0时，d
9、=0，舍去. 因此a1=，d=. 故数列an的通项公式an=+(n-1)=(2n-1). 12分18 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)设数列cn对任意自然数n均有成立，求c1+c2+c3+c2003的值.解：(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d0). 解得d=2,an=2n-1,可得bn=3n-1. 5分 (2)当n=1时，c1=3；当n2时，由=an+1-an,得cn=23n-1,故cn=9分 故c1+c2+c3+c2003=3+23+232+232002=32003. 12分19设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;(2) 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.解（1）由是等比数列。（2）
