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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)抛物线上两点A、B满足OAOB的性质抛物线上两点A、B满足OAOB的母题 抛物线C:y2=2px(p0)上两点A、B满足OAOB,则直线AB恒过定点M(2p,0),由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向.母题结构:直线l与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,OH直线l于点H,则OAOB等价于:y1y2=-4p2x1x2=4p2;直线AB恒过定点M(2p,0);点H在圆(x-p)2+y2=p2上;母题解析:由OAOB=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0y1y2
2、=-4p2x1x2=4p2;由直线AB:y-y1=(x-),即(y1+y2)y-y1y2=2px,所以,直线AB恒过定点M(2p,0)-y1y2=4p2OAOB;由点H在圆(x-p)2+y2=p2上|OM|=2p直线AB恒过定点M(2p,0)OAOB. 1.相关点的轨迹 子题类型:(2000年北京、安徽春招试题)如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,己知OAOB,OMAB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.分析:本题是母题的直接子题.解析:(法一)由OAOB=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0y1y2=-16p2;又由直线AB:y-y1=
3、(x-),即(y1+y2)y-y1y2=4px(y1+y2)y+16p2=4px直线AB恒过定点N(4p,0);又由OMAB点M的轨迹是以ON为直径的圆(去掉坐标原点),其方程为(x-2p)2+y2=4p2(x2+y20).(法二)设直线OA:y=kx,代入y2=4px得:(kx)2=4pxxA=yA=A(,);由OAOB,同理可得B(4pk2,-4pk)直线AB:y+4pk=(x-4pk2);设M(x,y),则-=y+4pk=-(x-4pk2)x2+y2-4pk2x+4pky=0x2+y2-4p(k+1)x+4pky=0x2+y2-4px=0(x-2p)2+y2=4p2(x2+y20),点M
4、的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径r=2p的圆(去掉坐标原点).点评:以功点A、B为始点,可以构成许多点的轨迹问题,如AB中点的轨迹;作AOB的平分线交AB于T,点T的轨迹;AOB的重心G的轨迹;满足=+的点P的轨迹;OA、OB的中垂线交点P的轨迹;以OA、OB为直径的两圆交点Q的轨迹方程等. 2.构造逆向问题 子题类型:(2005年北京春招试题)如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b0),且交抛物线y2=2px(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.()写出直线l的截距式方程;()证明:;()当a=2p时,求MON的大小.分析:由直线l的截距式方程可直
5、接写出;利用韦达定理易证第()问;第()问母题的逆向问题.解析:()直线l的截距式方程:+=1;()由点M(x1,y1),N(x2,y2)在直线l:+=1上+=1,+=1+=1,+=1(y1y2)y1,y2是方程+=1的两根y1+y2=-,y1y2=-2pa=;()当a=2p时,由y1y2=-2pa=-4p2(y1y2)2=4p2x1x2=16p4x1x2=4p2kOAkOB=-1MON=.点评:母题的逆向问题有两个方向:由直线AB恒过定点M(2p,0)OAOB构造逆向问题,本题属于此类;由点H在圆(x-p)2+y2=p2上OAOB构造逆向问题,此类问题尚待开发. 3.推广变式探究 子题类型:
6、(2006年上海高考试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.()求证:“直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;()写出()中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.分析:由直线l过点T(3,0),为避免讨论,可设直线l:x=ty+3,然后利用韦达定理证第()问;对于第()问,可设直线l:x=ty+a,只需由=3,求a,即可.解析:()设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=ty+3,代入y2=2x得:y2-2ty-6=0y1y2=-6x1x2=(y1y2)2=9=x1x2+y1y2=9-6=3“直线l过点T(3,0),那么=3”是真
7、命题;()逆命题是:“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0)”;该命题是假命题;设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=ty+a,代入y2=2x得:y2-2ty-2a=0y1y2=-2ax1x2=(y1y2)2=a2=x1x2+y1y2=a2-2a; 由=3a2-2a=3a=-1,3直线l过点(-1,0),或T(3,0).点评:对于母题:“抛物线C:y2=2px(p0)上两点A、B满足OAOB的充要条件是直线AB恒过定点M(2p,0)”有广泛的推广、变式等探究空间,本题是把母题中的条件OAOB,即=0,变式为=3;又如推广点O为抛物线C:y2=2
8、px(p0)上定点M,且=0,探究直线AB是否恒过定点;探究直线AB恒过定点M(a,0)(如M(p,0)的条件和性质等. 4.子题系列:1.(2008年武汉大学保送生考试试题)已知点P(0,-),点A在x轴上,点B在y轴的正半轴上,点M在直线AB上,且满足:=0,=3.()当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;()设Q为()中的曲线C上一点,直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直,l与曲线C相交于另一点R,当=0(O为坐标原点)时,求直线l的方程.2.(2005年广东高考试题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于原点O的两不同点A、B满足AOBO(如图所示).()求AOB的
9、重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;()AOB的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.3.(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图,过原点O作抛物线y22px(p0)的两条互相垂直的弦OA、OB,再作AOB的平分线交AB于C.求点C的轨迹方程.4.(2004年重庆高考试题)设p0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心),试证:抛物线的顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时,直线AB的方程.5.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知a0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2
10、px(p0)于P,Q两点,+为定值,则a= .6.(2014年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系xOy中,P是不在x轴上的一个动点,满足条件:过P可作抛物线y2=4x的两条切线,两切点连线lP与PO垂直,设直线lP与直线PO,x轴的交点分别为Q,R.()证明:R是一个定点;()求的最小值. 4.子题详解:1.解:()设A(t,0),B(0,b)(b0),M(x,y),由=0b=t2=(-t,t2);由=3x=-2t,y=2t2轨迹C的方程:x2=2y(x0);()设Q(2t,2t2),则曲线C在点Q处的切线:2tx=2切线斜率k=2t(t0);由=0直线l过点M(0,2)kMQ=;又由kk
11、MQ=-12(t2-1)=-1t=kMQ=直线l的方程:y=x+2.2.解:()设G(x,y),直线OA:y=kx,代入y=x2得:x2=kxxA=kyA=k2A(k,k2),由OAOB,同理可得B(-,)x=(k-),y=(k2+)9x2=k2+-2=3y-2AOB的重心G的轨迹方程:9x2=3y-2;()由AOB的面积S=|OA|OB|=1当k=1时,Smin=1.3.解:设A(2pa2,2pa)(a0),B(2pb2,2pb)(ab0),由OAOBab=-1=|a|3,由OC平分AOB=|a|3=a3,设C(x,y),则x-2pa2=a3(2pb2-x),y-2pa=a3(2pb-y)x
12、=,y=a=y1+()3=2p(1-)x3+3xy2-2p(x2-y2)=0.4.解:设A(2pa2,2pa)(a0),B(2pb2,2pb)(ab0),由(2pa2-2p):2pa=(2pb2-2p):2pbab=-1=4p2(ab)2+4p2ab=0OAOB抛物线的顶点在圆H的圆周上;由|AB|2=(2pa2-2pb2)2+(2pa-2pb)2=4p2(a2-b2)2+(a-b)2=4p2(a-b)2(a-b)2-3;又(a-b)2=a2+b2+2=a2+24当a=1,b=-1时,|AB|取得最小值4p,此时,圆H的面积最小时,直线AB:x=2p.5.解:设PQ:t2sin2-2ptcos-2ap=0t1+t2=,t1t2=-+=+=+=+(-)sin2a=p.6.解:()设P(a,b)(a0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA:y1y=2(x+x1),PB:y2y=2(x+x2)by1=2(a+x1),by2=(a+x2)直线lP:by=2(a+x)斜率kl=,由lP与PO垂直=-1a=-2直线lP:by=2(x-2)R(2,0)是一个定点;()在RtPRQ中,=;由kPQ=kOP=-,kPR=-tanQPR=|=|=2,当且仅当b=2时,等号成立的最小值为2.
